Краткое сравнение подходов для интеграла ${\int }_0^1{x}^{x}dx$. Сначала полезная запись:
$$x^x=e^{x\ln x}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(x\ln x{)}^k}{k!},{\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{\int }_0^1{x}^k(\ln x{)}^{k}dx$$
и используя ${\int }_0^1{x}^a(\ln x{)}^{k}dx=(-1{)}^k\frac{k!}{(a+1{)}^{k+1}}$ (для $a>-1$) получаем компактную рядовую формулу («Sophmore's dream» вариант):
$$\boxed{{\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^n}.}$$
Значения частичных сумм: $S_1=1$, $S_2=0.75$, $S_3\approx 0.787037$, $S_4\approx 0.783131$, $S_5\approx 0.783451$, $S_6\approx 0.78342935$, $S_7\approx 0.78343057$. Предельное значение примерно $\approx 0.7834305$.
1) Разложение в ряд (как выше)
- Преимущества: быстрое схождение (члены убывают сверхэкспоненциально: примерно как $1/n^n$), простой явный остаток для знакопеременного ряда: модуль остатка не превышает величину следующего члена.
- Оценка погрешности: после суммирования первых $N$ членов $|R_N|\le \frac{1}{(N+1{)}^{N+1}}$ (точнее: следующий член). Это даёт очень быстрый доступ к высокой точности.
- Устойчивость: численно устойчива — члены малы и чередуются, риск вычитаний мал; вычисление степеней/факториалов просто контролировать.
2) Итерационные/экстраполяционные методы (Romberg / Richardson)
- Идея: строят последовательности значений (трапеция с шагом $h,h/2,\dots$) и экстраполируют, повышая порядок.
- Преимущества: при гладкой функции даёт быстрое (порядки) улучшение; не требует знания аналитического ряда.
- Проблемы: оценочные формулы ошибки требуют ограниченных высших производных на отрезке. Здесь $f(x)=x^x$ непрерывна, но её первые производные имеют поведение $\sim \ln x$ при $x\to 0^{+}$ (неограниченны), поэтому асимптотика экстраполяции может замедляться и константы ошибок большие. Практически Romberg всё равно работает, но может потребовать предварительной обработки окрестности нуля (например интегрирования вручную на $[0,\epsilon ]$ через ряд).
3) Численные правила (прямоугольники / трапеция / Симпсон)
- Правила Ньютона—Котеса (композитный прямоугольник, трапеция, Симпсон):
- Теоретические оценки: ошибка трапеции $\sim O(h^2)$, Симпсона $\sim O(h^4)$, где $h$ — шаг, с константами через максимум соответствующих производных.
- Практическая проблема: для $x^x$ производные вблизи $0$ не ограничены, поэтому строгие оценки с малыми константами не применимы на всём отрезке; из‑за этого реальный порядок сходимости может быть хуже, пока $h$ не достаточно мал. Тем не менее для достаточно маленького $h$ и при использовании композиции они дают хорошие приближения.
- Рекомендации:
- Делить интеграл: ${\int }_0^1={\int }_0^{\epsilon }+{\int }_{\epsilon }^1$. Для $[0,\epsilon ]$ использовать ряд $x^x=1+x\ln x+\frac{1}{2}(x\ln x{)}^2+\dots$ и проинтегрировать первые члены аналитически; на $[\epsilon ,1]$ применять Симпсон/Гаусс. Это устраняет влияние сингулярного поведения производных в нуле.
- Сходимость и устойчивость: композитные формулы стабильны, но требуют контроля шага и/или изменения переменной.
4) Квадратурный метод Гаусса и преобразования переменной
- Гаусс‑Лежандр на [0,1] даёт очень быструю сходимость для гладких функций; для слабой «сингулярности» производных в нуле сходимость остаётся быстрой, но может быть полезно предварительно применить преобразование, например $x=t^m$ или $x=e^{-t}$, чтобы убрать узкое поведение у нуля.
- Специальные формулы (Gauss–Jacobi) с весом $(-\ln x{)}^{\alpha }$ или подстановкой могут ещё улучшить точность.
5) Сходимость, оценка погрешности и устойчивость — сводка
- Рядовая формула ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}/n^n$: быстро и надёжно для высокой точности; оценка остатка = модуль следующего члена (для знакопеременного убывающего ряда).
- Численные правила: теоретические порядки держатся при наличии ограниченных производных; здесь нужен осторожный подход около $x=0$. Практическая стратегия — разделить отрезок и/или трансформировать переменную.
- Экстраполяция (Romberg) эффективна, но её скорость зависит от гладкости; при слабой сингулярности в нуле эффект может быть хуже.
- Устойчивость: вычисление через ряд и через хорошо настроенный адаптивный/гауссов метод устойчивы; прямое применение высокопорядковых Ньютона–Котеса без учёта нуля может привести к численным проблемам (большие локальные ошибок, потеря точности при попытке использовать очень большой порядок).
Рекомендация для практики:
- Если нужна высокая точность — взять ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}/n^n$ и суммировать до требуемой точности (остаток ≤ следующий член).
- Если нужно быстро одно число с умеренной точностью — композитный Симпсон на $[\epsilon ,1]$ плюс аналитическая обработка $[0,\epsilon ]$ через первые члены ряда.
- Для «чёрного ящика» — адаптивная Gauss‑квадратура с подстановкой $x=t^p$ или разбиением у нуля.
Заключение: для ${\int }_0^1{x}^{x}dx$ наилучший и самый простой метод — использовать ряды (явная формула выше): он быстрый, с понятными оценками погрешности и численно устойчивый; численные правила полезны после регуляризации поведения у нуля.