Утверждение неверно. Коротко: обратимость ($0$ не является собственным значением) не связана с наличием полной системы собственных векторов, поэтому обратная матрица не гарантирует диагонализируемость.
Контрпримеры:
- $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Здесь $\det A=1$ (обратима), единственное собственное значение $\lambda =1$ с алгебраической кратностью $2$, но размер собственного пространства $\ker (A-I)=1$, значит геометрическая кратность $<$ алгебраической, и $A$ не диагонализируема над $\mathbb{R}$.
- Поворот на угол $\theta \notin \{0,\pi \}$: $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$. $\det R(\theta )=1$ (обратима), но не имеет вещественных собственных значений, значит не диагонализируема над $\mathbb{R}$ (при этом над $\mathbb{C}$ диагонализируема, т.к. собственные значения $e^{\pm i\theta }$ различны).
Точная версия теоремы о диагонализируемости (для поля $\mathbb{F}$, например $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$):
Пусть $A\in M_n(\mathbb{F})$. Следующие условия эквивалентны:
1) $A$ диагонализируема над $\mathbb{F}$, т.е. существует невырожденная $P$ такая, что $P^{-1}AP=D$ — диагональная матрица.
2) Существует базис из собственных векторов $A$ (эквивалентно: сумма размерностей всех собственных пространств равна $n$).
3) Для каждого собственного значения $\lambda$ алгебраическая кратность $\lambda$ равна геометрической кратности $\dim \ker (A-\lambda I)$.
4) Минимальный многочлен $m_A(x)$ раскладывается на простые линейные множители в $\mathbb{F}[x]$, т.е. не имеет кратных корней: $m_A(x)=\prod _i(x-{\lambda }_i)$ с попарно различными ${\lambda }_i$.
5) В жордановой нормальной форме все жордановы блоки имеют размер $1\times 1$.
Короткая идея доказательства критерия с минимальным многочленом: если $A$ диагонализируема, то $m_A$ делит ${\prod }_i(x-{\lambda }_i)$ с различными ${\lambda }_i$, значит кратных корней нет. Обратно, если $m_A$ не имеет кратных корней, то по разложению пространства на обобщённые собственные пространства (теорема о первичной декомпозиции) эти обобщённые пространства совпадают с собственными пространствами, что даёт базис из собственных векторов.
Дополнение (полезно): специальные достаточные условия: если $A$ — вещественная симметрическая матрица, то она диагонализируема над $\mathbb{R}$ ортогональным преобразованием (спектральная теорема). Если $A$ нормальна над $\mathbb{C}$ ($A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$), то она унитарно диагонализируема.
Вывод: обратимость не связана с диагонализируемостью; нужное и достаточное условие — отсутствие кратных корней в минимальном многочлене (или эквивалентные формулировки выше).