Кратко: ряд сходится при всех $p>0$. Абсолютно — только при $p>1$. При $0<p\le 1$ сходимость условная.
Доказательство и используемые тесты (в сжатом виде):
1) Необходимое условие. Предел членов:
$$a_n=\frac{(-1{)}^n}{n^p+\sin n}\to 0(n\to \infty )$$ для всех $p>0$, так как $n^p\to \infty$. Это необходимо для сходимости.
2) Абсолютная сходимость (сравнительный тест с p‑рядом). Так как $|\sin n|\le 1$,
$$\frac{1}{n^p+1}\le \frac{1}{n^p+\sin n}\le \frac{1}{n^p-1}(\text{для больших}n),$$ то поведение $|a_n|$ асимптотически как $1/n^p$. Следовательно $\sum |a_n|$ сходится тогда и только тогда, когда $\sum 1/n^p$ сходится, т.е. при $p>1$. Для $p\le 1$ абсолютная сходимость отсутствует.
3) Условная сходимость (Abel/дирихле, суммирование по частям). Обозначим $b_n=\frac{1}{n^p+\sin n}>0$. Рассмотрим частичные суммы $A_k={\sum }_{n=1}^k(-1{)}^n$, они ограничены по модулю (величина не превышает $1$). Применим формулу суммирования по частям (Abel):
$$\sum _{n=1}^N(-1{)}^n{b}_n=A_N{b}_N+\sum _{k=1}^{N-1}{A}_k(b_k-b_{k+1}).$$ Так как $A_N$ ограничены и $b_N\to 0$, для существования предела достаточно, чтобы ряд ${\sum }_{k=1}^{\infty }|b_k-b_{k+1}|$ сходился.
Оценим разности. Рассмотрим функцию $f(x)=1/(x^p+\sin x)$. По теореме о среднем значении для целых $n$ существует ${\xi }_n\in (n,n+1)$ такое, что
$$b_{n+1}-b_n=f(n+1)-f(n)=f^{\prime }({\xi }_n),$$ и
$$f^{\prime }(x)=-\frac{p{x}^{p-1}+\cos x}{(x^p+\sin x{)}^2}.$$ Отсюда для больших $n$ получаем оценку
$$|b_{n+1}-b_n|\le C(\frac{1}{n^{p+1}}+\frac{1}{n^{2p}})$$ с константой $C$. Сумма оценок по $n$ сходится, потому что $\sum 1/n^{p+1}$ сходится для любого $p>0$ (так как $p+1>1$). Следовательно $\sum |b_{n+1}-b_n|<\infty$.
По формуле суммирования по частям и ограниченности $A_k$ это даёт сходимость ряда $\sum (-1{)}^n{b}_n$ при всех $p>0$.
4) Итог по параметрам $p$:
- $p>1$: ряд сходится абсолютно (по сравнению с $p$-рядом).
- $0<p\le 1$: ряд не абсолютно сходится, но сходится условно (по приведённому аргументу с суммированием по частям и оценкой разностей).
Замечание о числителе и сингулярности знаменателя: числитель даёт простую знакочередующуюся структуру; синус в знаменателе — лишь малый осциллятор $O(1)$ по сравнению с $n^p$, поэтому не нарушает основной асимптотики $1/n^p$ и не создаёт нулей знаменателя для $n\in \mathbb{N}$.