Кратко — перечислю методы, дам ключевые формулы/идеи и укажу, когда каждый метод удобен.
- Координатный (аналитический) метод.
- Идея: задать координаты вершин $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$, найти уравнения нужных прямых (медианы, высоты, биссектрисы), точки их пересечения, затем площади через определитель:
[XYZ]=12∣det⁡(xY−xXxZ−xXyY−yXyZ−yX)∣. [XYZ]=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}
x_Y-x_X & x_Z-x_X\\[4pt]
y_Y-y_X & y_Z-y_X
\end{pmatrix}\right|.
[XYZ]=21 det(xY −xX yY −yX xZ −xX yZ −yX ) . - Преимущества: даёт явные численные/символические значения, легко программируется.
- Недостатки: алгебра иногда громоздка (особенно для биссектрис и высот).
- Когда использовать: нужно конкретное числовое значение или доказательство с явными координатами; удобно, если можно упростить выбором координат (например, положить $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$ или использовать базис, при котором одно уравнение упрощается).
- Векторный / ориентированные площади.
- Идея: записать точки как векторы $a,b,c$. Площадь пропорциональна модулю векторного детерминанта (в 2D через псевдоскаляр):
$$2[XYZ]=|(y-x)\times (z-x)|.$$ Линейность по вершинам позволяет легко получать отношения площадей, если точки — аффинные комбинации вершин.
- Преимущества: компактные алгебраические выводы, хорош для доказательств, использующих аффинные комбинации (напр., точки вида $\lambda a+(1-\lambda )b$).
- Недостатки: для геометрии, где важны углы (биссектрисы, высоты), потребуются дополнительные вычисления скалярных произведений.
- Когда использовать: при работе с аффинными соотношениями, при выводе общих формул для точек, заданных как комбинации вершин (например, медианы, точки на сторонах).
- Массы / барицентрические координаты (mass points / barycentric).
- Идея: описать точку $P$ через барицентрики $(\alpha :\beta :\gamma )$ относительно треугольника $ABC$. Тогда ориентированные площади подпроеков связаны так:
$$[PBC]:[PCA]:[PAB]=\alpha :\beta :\gamma .$$ Если нормировать $\alpha +\beta +\gamma =1$, то $[PBC]=\alpha [ABC]$ и т.д.
- Преимущества: очень удобно при задачах с цевианами и отношениями отрезков на сторонах (медианы, биссектрисы — их барицентрические координаты известны: медиана к $A$ — точка с массами $(1:1:0)$, центр тяжести — $(1:1:1)$; биссектриса даёт пропорции сторон); быстро получить отношения площадей без координат.
- Недостатки: требует умения записывать нужную точку в барицентриках; для высот (ортогональность) чаще удобнее использовать трилинейные или тригонометрические барицентрики.
- Когда использовать: задачи о соотношениях площадей между частями, полученными цевианами; когда важны отношения длин на сторонах (mass points отлично для разрезов сторон).
- Трилинейные/барицентрические координаты в символьных выводах.
- Идея: для точек вроде инцентра, ортцентра, точек пересечения биссектрис/высот есть стандартные барицентрические или трилинейные координаты (напр., инцентр $I$ имеет барицентрики $(a:b:c)$, где $a=BC$ и т.д.). Тогда площади и отношения легко выражаются через $a,b,c$ или через синусы углов.
- Преимущества: мощный общий аппарат для любых точек, даёт компактные формулы для отношений площадей.
- Недостатки: формулы могут быть громоздки; требует знание преобразований из трилинейных в барицентрические и обратно.
- Когда использовать: символические доказательства для инцентра, ортцентра, точек, заданных через углы или длины сторон.
- Афинные преобразования (упрощение формы треугольника).
- Идея: применить аффинное преобразование, которое переводит исходный треугольник в удобный (напр., прямоугольный/равнобедренный), при этом отношения площадей любых фигур, образованных аффинными образом (линии, точки, пересечения), остаются неизменными (общее множитель площади одинаков для всех частей). Важно: аффинное преобразование сохраняет прямые и деление отрезков в одном и том же отношении на параллельных отрезках, но не сохраняет углы и перпендикулярность.
- Преимущества: сильно упрощает вычисления для медиан, средних линий, подобных конструкций.
- Ограничения: нельзя применять, если объект зависит от угловых свойств (напр., биссектрисы, высоты), потому что перпендикулярность и равенство углов не сохраняются.
- Когда использовать: для медиан, медиальных треугольников, задач, где важна только аффинная структура (коллинеарность, отношения отрезков на одной прямой).
Примеры ключевых результатов (коротко):
- Медальная (серединная) треугольник (вершины — середины сторон). Отношение площадей:
$$[\text{медиальный}]=\frac{1}{4}[ABC].$$ Доказательство легко в координатах или аффинно.
- Центроид $G$ (пересечение медиан) имеет барицентрики $(1:1:1)$, поэтому под-треугольники $GBC,GCA,GAB$ имеют площади
$$[GBC]=[GCA]=[GAB]=\frac{1}{3}[ABC].$$ - Для точки $P$ с барицентриками $(\alpha :\beta :\gamma )$ имеем
$$[PBC]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }[ABC],[PCA]=\frac{\beta }{\alpha +\beta +\gamma }[ABC],[PAB]=\frac{\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }[ABC].$$
Рекомендации по выбору метода:
- Нужны численные/символические значения, прямой расчёт -> координаты (выберите удобную систему).
- Задача про цевианы и отношения отрезков на сторонах -> массы / барицентрические координаты.
- Требуется элегантный алгебраический вывод с линейностью -> векторы/аффинные методы.
- Точки, связанные с углами (инцентр, биссектрисы) или высотами -> трилинейные/барицентрические или координаты на кругах (тригонометрические выражения); аффинные преобразования здесь не подойдут.
- Хочется свести к максимально простому треугольнику, сохранив отношения площадей -> аффинное преобразование (только если конструкция аффинно-инвариантна).
Короткий итог: для общих задач по отношениям площадей цевиан лучше всего барицентрики/массы; для явных подсчётов — координаты/векторы; для упрощения конструкции без учета углов — аффинные преобразования; для угловых объектов (биссектрисы, высоты) — трилинейные/тригонометрические или координаты с учётом углов.