Кратко: применять комбинацию (i) анализа дискриминанта/результанта для нахождения критических параметров, (ii) теоремы Штурма для точного подсчёта корней на интервалах параметра, (iii) непрерывности корней по параметру и локального анализа кратных корней для описания изменений числа вещественных корней. Ниже — пошагово с пояснениями и примерами крайних случаев.
1) Критические значения параметра (где число вещественных корней может меняться)
- Постройте дискриминант/результант по $x$:
$$D(a)={\mathrm{Disc}}_x(P(x;a))\text{или}R(a)={\mathrm{Res}}_x(P(x;a),{\partial }_{x}P(x;a)).$$ Корни уравнения $D(a)=0$ (равноценны корням $R(a)=0$ до константного множителя) — все значения $a$, при которых $P$ имеет кратный корень. Также включите в множество критических значений те $a$, при которых ведущий коэффициент обращается в ноль (степень падает).
- Вычислите реальные корни $a_1<\cdots <a_m$ этого многочлена по $a$. На каждом отрезке параметров между ними число простых вещественных корней не меняется.
2) Точный подсчёт числа вещественных корней на интервалах параметра
- Для образца $a^{\ast }$ из каждого открытого интервала $(a_j,a_{j+1})$ примените теорему Штурма:
- Постройте последовательность Штурма $S_0=P(\cdot ;a^{\ast }),S_1={\partial }_{x}P(\cdot ;a^{\ast })$, далее
$$S_{k+1}=-\mathrm{rem}(S_{k-1},S_k),$$ пока не получите ноль.
- Число различных вещественных корней на $(-\infty ,+\infty )$ равно разности числа знако-перемен при $x\to -\infty$ и $x\to +\infty$.
- Это даёт значение $k$ для всего соответствующего интервала параметров (т.к. при $D(a)\ne 0$ кратных корней нет и корни зависят непрерывно).
3) Поведение в критических точках и доказательство изменения числа корней
- Корни зависят непрерывно (и аналитически при простых корнях) от параметра $a$. Следовательно число вещественных корней постоянно на каждом промежутке, где $D(a)\ne 0$.
- Изменение числа вещественных корней возможно только при прохождении через $a$ с $D(a)=0$. Локальный анализ:
- Если при $a=a_0$ имеет место кратный корень чётной кратности (например, двойной) на действительной оси, то при малом изменении $a$ число вещественных корней обычно меняется на $\pm 2$: две вещественные коллидируют и переходят в комплексно-сопряжённую пару или наоборот.
- Если кратность нечётна (более общие сценарии), поведение зависит от высших производных; можно применять неравномерный развёртки и теорему о неразветвлённости решений. Формально кратность и знак вторых производных определяют, увеличится ли число вещественных корней или останется тем же.
- Формально для доказательства: показать, что на каждом промежутке $D(a)\ne 0$ корни простые и зависят непрерывно (по теореме неявной функции), а пересчет числа корней при переходе через критическое значение анализируется через локальное разложение $P(x;a)$ вблизи кратного корня.
4) Дополнительные инструменты и биоранты
- Правило знаков Декарта даёт верхнюю оценку числа положительных корней (и, подставляя $x\mapsto -x$, отрицательных); полезно для быстрых оценок.
- Вычисление резольвентных условий (Sylvesterova матрица) даёт явную полиномиальную уравненческую связь для критических $a$ (возможно высоких степеней).
- Численные методы: при больших степенях рационально вычислять $D(a)$ и использовать численное исследование $S(a)$ и подсчёт знаков для конкретных $a$.
5) Построение примеров и крайних случаев
- Чтобы сконструировать многочлен степени $n$ с ровно $k$ вещественными корнями, можно положить явный факторизованный вид:
$$P(x;a)=\prod _{i=1}^k(x-r_i)\prod _{j=1}^{(n-k)/2}(x^2+u_j(a)),$$ где $r_i\in \mathbb{R}$ различны, а для всех $j$ $u_j(a)>0$. Тогда ровно $k$ вещественных корней. Сделайте параметр $a$ входящим, например, в один $u_1(a)$ так, что при $a=a_0$ получится $u_1(a_0)=0$ (граничный случай с кратным корнем в 0), а при $u_1(a)<0$ получите дополнительно две вещественные корня.
- Простейшие иллюстрации:
- Квадратичный случай: $P(x;a)=x^2+bx+a$. Критическое условие $D(a)=b^2-4a=0$. Для $b^2-4a>0$ — два вещественных, $=0$ — двойной, $<0$ — ноль вещественных.
- Четвёртая степень: возьмите $P(x;a)=(x^2+1)(x^2+a)$. Для $a>0$ — 0 вещественных, $a=0$ — двойной корень 0 (крайний случай), $a<0$ — 2 вещественных (пары из корней квадратичных множителей).
- Таким образом крайние значения $a$ обычно получаются как корни $D(a)=0$; для конкретных примеров достаточно подобрать факторизацию, где параметр управляет знаком дискриминантов квадратичных множителей.
Короткая сводка алгоритма для практики
1. Найти $D(a)={\mathrm{Disc}}_{x}P$ (или $R(a)={\mathrm{Res}}_x(P,P_x^{\prime })$) и ведущий коэффициент как функции $a$.
2. Решить $D(a)=0$ и учесть точки падения степени; отсортировать критические $a$.
3. В каждом интервале между критическими взять пробное $a$ и посчитать число вещественных корней через Штурм (или численно).
4. Для граничных $a$ выполнить локальный анализ кратных корней (разложение в ряд, анализ кратности) — это объяснит возможное изменение числа корней на $\pm 2,\pm 4,\dots$.
Это даёт полный критерий и схему доказательства того, для каких $a$ уравнение $P(x;a)=0$ имеет ровно $k$ вещественных корней, а также способ построения граничных примеров.