Решение.
Используем тождество $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. Тогда уравнение эквивалентно
$$2\sin x(\cos x-1)=0.$$ Следовательно либо $\sin x=0$, либо $\cos x=1$. Получаем корни
$$\sin x=0⟹x=k\pi ,\cos x=1⟹x=2k\pi (k\in \mathbb{Z}).$$ Так как $x=2k\pi$ уже входит в $x=k\pi$, то полное множество решений равно
$$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$
Осторожность при алгебраических манипуляциях:
- Деление на выражение, которое может быть нулём, приводит к потере решений. Например, деля исходное уравнение на $2\sin x$ (то есть предполагая $\sin x\ne 0$), получают $\cos x=1$ и теряют решения с $\sin x=0$ (четные и нечётные кратные $\pi$).
- Деление на $\cos x-1$ потеряет решения с $\cos x=1$.
- Переход к тангенсу (деление на $\cos x$) не допускается при $\cos x=0$.
- Возведение в квадрат может добавить посторонние корни, поэтому после таких преобразований надо проверять кандидатов в исходном уравнении.
Итого: все корни — $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.