Для нахождения площади полной поверхности конуса, нужно использовать формулу:

[
S = S{основания} + S{боковая}
]

где ( S{основания} ) — площадь основания, а ( S{боковая} ) — площадь боковой поверхности.

Площадь основания:

Основание конуса — это круг, и его площадь вычисляется по формуле:

[
S_{основания} = \pi r^2
]

где ( r ) — радиус основания. В данном случае ( r = 15 ) см.

[
S_{основания} = \pi \cdot (15)^2 = \pi \cdot 225 = 225\pi
]

Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

[
S_{боковая} = \pi r l
]

где ( l ) — длина образующей конуса. Чтобы найти ( l ), воспользуемся треугольником, образованным радиусом, высотой и образующей. Если угол между образующей и основанием равен ( 30^\circ ), то:

[
\sin(30^\circ) = \frac{h}{l}
]
[
\cos(30^\circ) = \frac{r}{l}
]

Отсюда выражаем ( l ):

[
l = \frac{r}{\cos(30^\circ)} = \frac{15}{\cos(30^\circ)} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}
]

Теперь подставляем ( l ) в формулу для площади боковой поверхности:

[
S_{боковая} = \pi r l = \pi \cdot 15 \cdot (10\sqrt{3}) = 150\sqrt{3}\pi
]

Общая площадь поверхности:

Теперь находим полную площадь поверхности конуса:

[
S = S{основания} + S{боковая} = 225\pi + 150\sqrt{3}\pi = (225 + 150\sqrt{3})\pi
]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна:

[
S = (225 + 150\sqrt{3})\pi \, \text{см}^2
]