Чтобы найти объем конуса, нам сначала нужно определить его радиус основания. Дана площадь поверхности конуса и длина образующей.

Площадь поверхности конуса ( S ) рассчитывается по формуле:

[
S = \pi r^2 + \pi r l
]

где:

( r ) — радиус основания,( l ) — образующая (в данном случае ( l = 15 \, \text{см} )),( S = 216 \pi \, \text{см}^2 ).

Подставим известные значения:

[
216 \pi = \pi r^2 + \pi r \cdot 15
]

Делим обе части уравнения на ( \pi ):

[
216 = r^2 + 15r
]

Перепишем это уравнение:

[
r^2 + 15r - 216 = 0
]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 225 + 864 = 1089
]

Теперь найдем корни уравнения:

[
r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{1089}}{2}
]

Находим ( \sqrt{1089} = 33 ):

[
r = \frac{-15 \pm 33}{2}
]

Это дает два значения:

( r = \frac{18}{2} = 9 )( r = \frac{-48}{2} = -24 ) (отрицательный радиус не рассматриваем)

Таким образом, радиус основания ( r = 9 \, \text{см} ).

Теперь мы можем найти объем конуса ( V ) по формуле:

[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]

Где нам нужно вычислить высоту ( h ) конуса. Мы можем использовать метод Пифагора для нахождения высоты, зная радиус и образующую:

[
h^2 + r^2 = l^2
]
[
h^2 + 9^2 = 15^2
]
[
h^2 + 81 = 225
]
[
h^2 = 225 - 81 = 144
]
[
h = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}
]

Теперь подставим ( r ) и ( h ) в формулу для объема:

[
V = \frac{1}{3} \pi (9^2) (12) = \frac{1}{3} \pi (81) (12) = \frac{1}{3} \pi (972) = 324 \pi \, \text{см}^3
]

Таким образом, объем конуса равен ( 324 \pi \, \text{см}^3 ).