В данном прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, и дано, что ( AC = \frac{\sqrt{55}}{3} ) и ( AC = BC \cdot \tan A ).

Так как ( C ) — прямой угол, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы ( AB ):

[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]

Теперь выразим ( BC ) через ( AC ) и угол ( A ):

[
BC = \frac{AC}{\tan A}
]

Подставим ( AC ):

[
BC = \frac{\frac{\sqrt{55}}{3}}{\tan A}
]

Теперь подставим значения в формулу Пифагора:

[
AB^2 = \left(\frac{\sqrt{55}}{3}\right)^2 + \left(\frac{\frac{\sqrt{55}}{3}}{\tan A}\right)^2
]

Это можно упростить:

[
AB^2 = \frac{55}{9} + \frac{55}{9 \tan^2 A}
]

Теперь вынесем ( \frac{55}{9} ) за скобки:

[
AB^2 = \frac{55}{9} \left(1 + \frac{1}{\tan^2 A}\right) = \frac{55}{9} \left(1 + \cot^2 A\right)
]

Согласно тригонометрической идентичности, ( 1 + \cot^2 A = \csc^2 A ), тогда:

[
AB^2 = \frac{55}{9} \cdot \csc^2 A
]

Теперь выведем длину ( AB ):

[
AB = \sqrt{\frac{55}{9} \cdot \csc^2 A} = \frac{\sqrt{55}}{3} \cdot \csc A
]

Таким образом, чтобы получить значение ( AB ), нужно знать значение угла ( A ) или его функции (например, синус или косинус). Если значение угла ( A ) не известно, то окончательный ответ на длину ( AB ) будет в зависимости от ( A ):

[
AB = \frac{\sqrt{55}}{3 \sin A}
]

Учитывая, что в условии задачи не дано значение угла ( A ), дать окончательный численный ответ невозможно без этой информации.