Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед ABCDA с основанием в виде квадрата ABCD со стороной (6\sqrt{2}) и высотой (2\sqrt{7}). Мы будем использовать координатную геометрию для нахождения площади сечения, проходящего через точки (A), (B), и (D).

Зададим координаты точек параллелепипеда:

(A(0, 0, 0))(B(6\sqrt{2}, 0, 0))(C(6\sqrt{2}, 6\sqrt{2}, 0))(D(0, 6\sqrt{2}, 0))(A_1(0, 0, 2\sqrt{7}))(B_1(6\sqrt{2}, 0, 2\sqrt{7}))(C_1(6\sqrt{2}, 6\sqrt{2}, 2\sqrt{7}))(D_1(0, 6\sqrt{2}, 2\sqrt{7}))

Плоскость, проходящая через точки (A), (B), и (D), будет задана уравнением, которое можно найти с помощью векторов. Нам нужно найти векторы (AB) и (AD):

Вектор (AB = B - A = (6\sqrt{2}, 0, 0) - (0, 0, 0) = (6\sqrt{2}, 0, 0))

Вектор (AD = D - A = (0, 6\sqrt{2}, 0) - (0, 0, 0) = (0, 6\sqrt{2}, 0))

Теперь можем найти нормаль к плоскости, используя векторное произведение (AB \times AD):

[
AB \times AD =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
6\sqrt{2} & 0 & 0 \
0 & 6\sqrt{2} & 0
\end{vmatrix} =
\mathbf{i} (0 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k} (6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} - 0)
= \mathbf{k}(72) = (0, 0, 72)
]

Нормаль к данной плоскости равна ( (0, 0, 72) ), что говорит о том, что плоскость перпендикулярна оси (z) и сечение будет параллельно основанию квадрата.

Сечение, проходящее через (A), (B), и (D), будет треугольником, у которого основание (AB) и высота, падающая из точки (D) на линию (AB).

Длина отрезка (AB) равна:

[
AB = |B - A| = 6\sqrt{2}
]

Теперь найдем высоту треугольника, которая равна длине отрезка, перпендикулярного к (AB) от точки (D). Проекция точки (D) на линию (AB) совпадает с (D), так как для угла (D) к (AB) равен 90 градусов, а основание перпендикулярно.

Таким образом, высота от (D) на (AB) с точки зрения координат тоже равна (6\sqrt{2}).

Теперь находим площадь треугольника (ABD):

[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 72 = 36.
]

Таким образом, площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки (A), (B), и (D), равна (36).

Ответ: 36.