Чтобы построить график функции ( y = x^2 - |6x + 7| ), следует выполнить следующие шаги:

Разделение на случаи для абсолютной величины: Поскольку в функции присутствует абсолютное значение, нам нужно рассмотреть два случая, в зависимости от того, когда выражение внутри абсолютного значения меняет знак.

Случай 1: ( 6x + 7 \geq 0 ), то есть ( x \geq -\frac{7}{6} ).
В этом случае ( |6x + 7| = 6x + 7 ).
Тогда функция становится:
[
y = x^2 - (6x + 7) = x^2 - 6x - 7
]

Случай 2: ( 6x + 7 < 0 ), то есть ( x < -\frac{7}{6} ).
Здесь ( |6x + 7| = -(6x + 7) = -6x - 7 ).
Функция будет:
[
y = x^2 - (-6x - 7) = x^2 + 6x + 7
]

Нахождение границ и точек пересечения: Найдем точку, где ( 6x + 7 = 0 ):
[
6x + 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{6} \approx -1.17
]

Построение графиков функций:

Для ( x \geq -\frac{7}{6} ) используем:
[
y = x^2 - 6x - 7
]
Это парабола, открытая вверх. Можно определить её вершину и нули (корни).Для ( x < -\frac{7}{6} ) используется:
[
y = x^2 + 6x + 7
]
Это также парабола, открытая вверх.

Вершина параболы: Вершина может быть найдена по формуле:
[
x = -\frac{b}{2a}
]
где ( b ) и ( a ) - коэффициенты, соответственно. Например, для первого случая (парабола ( y = x^2 - 6x - 7 )):
[
x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3
]
Подставив в уравнение, находим ( y ):
[
y = 3^2 - 6 \cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16
]

Построение графика: Наносим точки на координатную плоскость. Отметим точки на границе ( x = -\frac{7}{6} ). Проведем линии для каждой функции, учитывая границы.

Сравнение значений: Постройки значений функций на заданных интервалах тоже важны, чтобы понять поведение и направление графика.

Теперь вы можете построить функциональный график, следуя этим шагам, либо с помощью графического калькулятора, либо вручную на координатной плоскости.