Пусть O — центр данной окружности, радиус которой R = 10 см. Диаметр этой окружности обозначим как OA (где A — точка на диаметре, находящаяся на расстоянии 5 см от O).

Поскольку OA равно 5 см, то отрезок AO равен 5 см, а отрезок OB (где B — другая точка на диаметре, находящаяся на расстоянии 10 см от O) равен 5 см. Мы можем вычислить, какой радиус r будет у второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.

Так как вторая окружность касается диаметра в точке A, то расстояние от центра второй окружности до точки A будет равно её радиусу r. Также эта окружность касается данной окружности, следовательно, расстояние от центра второй окружности до центра O будет равно R - r, где R = 10 см — радиус первой окружности.

Таким образом, можно записать уравнение для расстояния между центрами двух окружностей, которое будет равно сумме радиусов:

[
OA + r = R - r.
]

Зная, что ( OA = 5 ), подставим всё в уравнение:

[
5 + r = 10 - r.
]

Сложим все r в одну сторону:

[
5 + r + r = 10 \rightarrow 2r = 10 - 5 \rightarrow 2r = 5 \rightarrow r = \frac{5}{2} = 2.5.
]

Таким образом, радиус второй окружности равен ( 2,5 ) см.