Пусть размеры первого прямоугольника с площадью (15 \text{ см}^2) равны (a) и (b), т.е. (a \cdot b = 15). Возможные пары (длина, ширина) для этого прямоугольника, учитывая, что длины и ширины должны быть натуральными числами, будут:

(1 \times 15)(3 \times 5)

Для второго прямоугольника с площадью (12 \text{ см}^2) пусть размеры равны (c) и (d), т.е. (c \cdot d = 12), с возможными парами:

(1 \times 12)(2 \times 6)(3 \times 4)

Теперь рассмотрим разные случаи, когда Арина складывает два прямоугольника так, чтобы образовать прямоугольник:

Случай 1: Первый прямоугольник (3 \times 5) и второй (3 \times 4)

Если Арина совместит их по стороне 3, получим:

Ширина первого = 5, ширина второго = 4.Общая ширина = (5 + 4 = 9).

Теперь получаем прямоугольник размером (3 \times 9).

Случай 2: Первый прямоугольник (3 \times 5) и второй (2 \times 6)

Если Арина совместит их по стороне 5, получим:

Ширина первого = 3, ширина второго = 2.Общая ширина = (3 + 2 = 5).

Теперь получаем прямоугольник размером (5 \times 5) (это уже квадрат).

Но нам нужно продолжить, так как еще есть варианты с другими прямоугольниками.

Случай 3: Первый (1 \times 15) и второй (3 \times 4)

Если Арина совместит их по стороне 1, получим:

Общая ширина = (15 + 4 = 19).

Размер получившегося прямоугольника (1 \times 19).

Случай 4: Первый (1 \times 15) и второй (2 \times 6)

Если Арина совместит их по стороне 1, получим:

Общая ширина = (15 + 6 = 21).

Размер получившегося прямоугольника (1 \times 21).

Остальные случаиГлядя на пары и возможные сложения, можно заметить, что классический случай, когда она создает квадрат, уже был в случае, когда мы совместили (3 \times 5) и (2 \times 6), чтобы получить квадрат (5 \times 5).

Теперь найдем площадь квадрата:
[
5 \times 5 = 25 \text{ см}^2.
]

Таким образом, площадь квадрата, который образует Арина, равна (25 \text{ см}^2).