Обозначим время, которое наполняли первую бочку, как ( t_1 ) (в минутах), вторую бочку — как ( t_2 ), а третью — как ( t_3 ).

Дано:

Объём первой бочки — 30 литров.Объём второй бочки — 50 литров.Объём третьей бочки — 40 литров.Общее время заполнения всех бочек — 24 минуты.

Пусть скорость наполнения первой бочки составляет ( v_1 ), второй — ( v_2 ), и третьей — ( v_3 ) литров в минуту. Тогда мы можем выразить время наполнения каждой бочки через их объём и скорость:

[
t_1 = \frac{30}{v_1},
]
[
t_2 = \frac{50}{v_2},
]
[
t_3 = \frac{40}{v_3}.
]

Согласно задаче, общее время равно 24 минуты:

[
t_1 + t_2 + t_3 = 24.
]

Теперь выразим ( t_2 ) и ( t_3 ) через ( t_1 ):

[
\frac{30}{v_1} + \frac{50}{v_2} + \frac{40}{v_3} = 24.
]

Для простоты предположим, что все бочки наполняются одновременно. Тогда их скорости приближаются к одному и тому же значению, и можно записать общее количество литров на общее время:

Общий объём бензина равен ( 30 + 50 + 40 = 120 ) литров.

Скорость заполнения в общем случае будет:

[
V = \frac{120 \text{ литров}}{24 \text{ минуты}} = 5 \text{ литров в минуту}.
]

Теперь, если скорость одинаковая для всех трех бочек, то для каждой бочки:

Для первой бочки:
[
t_1 = \frac{30}{5} = 6 \text{ минут}.
]

Для второй бочки:
[
t_2 = \frac{50}{5} = 10 \text{ минут}.
]

Для третьей бочки:
[
t_3 = \frac{40}{5} = 8 \text{ минут}.
]

Теперь проверим сумму времени:

[
6 + 10 + 8 = 24 \text{ минуты}.
]

Таким образом, первая бочка наполнялась 6 минут.