Для нахождения промежков, на которых функция растет, потребуется найти производную данной функции и определить, на каких интервалах она положительна.
Функция:[ y = 3 + 9x - 3x^2 - x^3 ]
Вычислим производную ( y' ):[ y' = \frac{d}{dx}(3 + 9x - 3x^2 - x^3) = 9 - 6x - 3x^2 ]
Теперь упростим и выразим производную в стандартном виде:[ y' = -3x^2 - 6x + 9 ]
Для нахождения критических точек найдем нули производной:[ -3x^2 - 6x + 9 = 0 ]Умножим уравнение на -1:[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 ]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 36 + 108 = 144 ]
Находим корни:[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 12}{6} ][ x_1 = \frac{6}{6} = 1 ][ x_2 = \frac{-18}{6} = -3 ]
Теперь определим знаки производной ( y' ) на интервалах, которые определяются корнями:
Выберем тестовые точки:
Для интервала ( (-\infty, -3) ) возьмем ( x = -4 ):[ y'(-4) = -3(-4)^2 - 6(-4) + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 \quad (\text{отрицательно}) ]
Для интервала ( (-3, 1) ) возьмем ( x = 0 ):[ y'(0) = -3(0)^2 - 6(0) + 9 = 9 \quad (\text{положительно}) ]
Для интервала ( (1, +\infty) ) возьмем ( x = 2 ):[ y'(2) = -3(2)^2 - 6(2) + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 \quad (\text{отрицательно}) ]
Таким образом, производная положительна на интервале ( (-3, 1) ). Это значит, что функция ( y = 3 + 9x - 3x^2 - x^3 ) возрастает на этом интервале:
Ответ: Функция растет на интервале ( (-3, 1) ).
Для нахождения промежков, на которых функция растет, потребуется найти производную данной функции и определить, на каких интервалах она положительна.
Функция:
[ y = 3 + 9x - 3x^2 - x^3 ]
Вычислим производную ( y' ):
[ y' = \frac{d}{dx}(3 + 9x - 3x^2 - x^3) = 9 - 6x - 3x^2 ]
Теперь упростим и выразим производную в стандартном виде:
[ y' = -3x^2 - 6x + 9 ]
Для нахождения критических точек найдем нули производной:
[ -3x^2 - 6x + 9 = 0 ]
Умножим уравнение на -1:
[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 ]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 36 + 108 = 144 ]
Находим корни:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 12}{6} ]
[ x_1 = \frac{6}{6} = 1 ]
[ x_2 = \frac{-18}{6} = -3 ]
Теперь определим знаки производной ( y' ) на интервалах, которые определяются корнями:
Интервал ( (-\infty, -3) )Интервал ( (-3, 1) )Интервал ( (1, +\infty) )Выберем тестовые точки:
Для интервала ( (-\infty, -3) ) возьмем ( x = -4 ):
[ y'(-4) = -3(-4)^2 - 6(-4) + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 \quad (\text{отрицательно}) ]
Для интервала ( (-3, 1) ) возьмем ( x = 0 ):
[ y'(0) = -3(0)^2 - 6(0) + 9 = 9 \quad (\text{положительно}) ]
Для интервала ( (1, +\infty) ) возьмем ( x = 2 ):
[ y'(2) = -3(2)^2 - 6(2) + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 \quad (\text{отрицательно}) ]
Таким образом, производная положительна на интервале ( (-3, 1) ). Это значит, что функция ( y = 3 + 9x - 3x^2 - x^3 ) возрастает на этом интервале:
Ответ: Функция растет на интервале ( (-3, 1) ).