Чтобы сложить дробные числа ( 4 \frac{2}{3} ) и ( 5 \frac{4}{7} ), сначала нужно преобразовать их в неправильные дроби.

Преобразуем ( 4 \frac{2}{3} ):
[
4 \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3}
]

Преобразуем ( 5 \frac{4}{7} ):
[
5 \frac{4}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{35 + 4}{7} = \frac{39}{7}
]

Теперь сложим две неправильные дроби ( \frac{14}{3} ) и ( \frac{39}{7} ).

Для сложения дробей нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 7 равен 21.

Приведем дроби к общему знаменателю:
[
\frac{14}{3} = \frac{14 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{98}{21}
]
[
\frac{39}{7} = \frac{39 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{117}{21}
]

Теперь можно сложить дроби:
[
\frac{98}{21} + \frac{117}{21} = \frac{98 + 117}{21} = \frac{215}{21}
]

Теперь преобразуем неправильную дробь ( \frac{215}{21} ) в смешанное число.

Выполним деление:
[
215 \div 21 = 10 \quad \text{(остаток 5)}
]

Таким образом, это дает нам смешанное число:
[
10 \frac{5}{21}
]

Итак, ответ:
[
4 \frac{2}{3} + 5 \frac{4}{7} = 10 \frac{5}{21}
]