Чтобы понять, как изменится набор решений уравнения ( x^n = a ) при целых ( n ) и при рациональных показателях степени, необходимо рассмотреть каждую категорию отдельно.

1. Целые показатели степени (( n \in \mathbb{Z} ))

Положительные целые ( n ): Если ( n ) положительное, то уравнение ( x^n = a ) имеет следующие решения:

Если ( a > 0 ), то существует ( n ) различных действительных корней (один положительный корень и ( n-1 ) комплексных корней, если ( n ) четно).Если ( a = 0 ), то единственное решение: ( x = 0 ).Если ( a < 0 ) и ( n ) четно, то нет действительных решений (но есть ( n ) комплексных корней).Если ( a < 0 ) и ( n ) нечетно, то есть один действительный корень ( x = -(-a)^{1/n} ).

Отрицательные целые ( n ): Если ( n < 0), уравнение можно переписать в виде ( x^{-n} = \frac{1}{a} ), где ( -n ) — положительное. Для этого случая:

Если ( a > 0 ), уравнение ( x^{-n} = \frac{1}{a} ) имеет тот же набор решений, что и уравнение ( y^{m} = b ), где ( m = -n ) (то есть ( y^m = b ) будет иметь решения в зависимости от знака ( b )).Если ( a = 0 ), то решения не существуют, так как ( \frac{1}{0} ) не определено.Если ( a < 0 ), то решение не может существовать, так как ( \frac{1}{a} ) будет отрицательным, что невозможно для целых показателей.2. Рациональные показатели степени (( n \in \mathbb{Q} ))

Рассмотрим рациональные показатели в общем виде: ( n = \frac{p}{q} ), где ( p ) и ( q ) - целые числа, ( q > 0 ). Уравнение принимает вид:

[
x^{p/q} = a
]

Переписывая, получаем:

[
x^p = a^q
]

Если ( a > 0 ), решение также будет иметь ( p ) различных корней (можно извлекать ( q )-ый корень, если ( p ) четно, мы получим действительный корень и ( p-1 ) комплексных корней).Если ( a = 0 ), то ( x^p = 0 ) имеет только одно решение ( x = 0 ).Если ( a < 0 ):
Если ( p ) четно, то действительных решений нет (все корни комплексные).Если ( p ) нечетно, существует одно действительное решение.ВыводыПри целых показателях степени, особенно при положительных, существует четкое деление решений на действительные и комплексные в зависимости от знака ( a ) и четности ( n ).При рациональных показателях решений может стать больше из-за возможности извлечения корней, но зависит от четности и знаков обоих показателей ( p ) и ( a ). Тем не менее, для любого ( a ) существуют уникальные условия, определяющие существуют ли либо действительные, либо комплексные решения.

Таким образом, набор решений уравнения значительно меняется в зависимости от того, используются ли целые или рациональные показатели степени, и от знака числа ( a ).