Упрощение выражения ((a^3 - b^3)/(a - b)) можно выполнить, используя формулу разности кубов:

[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
]

Таким образом, подставив это в исходное выражение, мы получим:

[
\frac{a^3 - b^3}{a - b} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}
]

При (a \neq b) мы можем сократить ((a - b)):

[
\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b} = a^2 + ab + b^2
]

Таким образом, при (a \neq b) упрощенное выражение равно (a^2 + ab + b^2).

Теперь рассмотрим случай, когда (a = b). В этом случае подстановка (a = b) приводит к неопределенности в виде деления на ноль:

[
\frac{0}{0}
]

Чтобы корректно рассмотреть этот случай, можно воспользоваться пределом. Подставив (b = a) в выражение (a^3 - b^3), используя производные, мы можем найти предел:

[
\lim_{b \to a} \frac{a^3 - b^3}{a - b}
]

В данном случае, мы знаем, что производная функции (f(x) = x^3) в точке (x = a) равна:

[
f'(x) = 3x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(a) = 3a^2
]

Таким образом, предел при (b \to a) равен производной:

[
\lim_{b \to a} \frac{a^3 - b^3}{a - b} = 3a^2
]

Итак, мы можем резюмировать:

При (a \neq b): ((a^3 - b^3)/(a - b) = a^2 + ab + b^2)При (a = b): значение выражения можно считать равным (3a^2).