При выборе между эвклидовой и манхэттеновой метриками в прикладных задачах важно учитывать несколько критериев, включая характеристики данных, структуру пространства и требования к интерпретации результатов. Ниже приведены несколько ключевых критериев и иллюстрации примерами:

Критерии выбора:

Геометрическая интерпретация:

Эвклидова метрика (L2-метрика): Подходит для задач, где расстояния между точками имеют смысл в контексте "прямой" длины. Применяется, когда важна общая "дистанция" и углы между векторами.Манхэттенова метрика (L1-метрика): Используется в задачах, где перемещение происходит по сетке, например, в городских условиях (по улицам). Это может быть полезно, когда важен путь по рельефу или препятствиям.

Пример: Сравнение расстояний между двумя точками (A и B) в открытом пространстве (эвклидова метрика) и по сетке улиц (манхэттенова метрика).

Чувствительность к выбросам:

Эвклидова метрика чувствительна к выбросам, поскольку квадратичная форма расстояния делает большие отклонения более очевидными.Манхэттенова метрика менее чувствительна к выбросам, что делает ее предпочтительной при наличии шумных данных.

Пример: В задачах машинного обучения, таких как кластеризация, использование манхэттеновой метрики может помочь снизить влияние выбросов на формирование кластеров.

Количество измерений:

При увеличении числа измерений (высокая размерность) манхэттенова метрика может давать более стабильные и интерпретируемые результаты, поскольку она учитывает латеральные перемещения.Эвклидова метрика может приводить к эффекту "проклятия размерности", когда расстояния становятся менее информативными.

Пример: В задачах с большим количеством признаков, таких как анализ текстов (например, TF-IDF в NLP), манхэттенова метрика может использоваться для получения более стабильных результатов.

Тип данных:

Если данные нормализованы и имеют непрерывные значения, рекомендуется использовать эвклидову метрику.Если данные дискретные или номинальные, манхэттенова метрика может быть более уместной.

Пример: В задачах обработки изображений, где цвета представлены в виде векторов RGB, лучше использовать эвклидову метрику для определения схожести изображений. В то время как, если мы рассматриваем кусочки текста, манхэттенова метрика может быть более подходящей.

Заключение:

В зависимости от особенностей задачи и данных, выбор между эвклидовой и манхэттеновой метриками может существенно влиять на качество результатов. Используйте эвклидову метрику в случаях, когда важно учитывать "прямые" расстояния и углы, а манхэттенову – в контекстах, где перемещения ограничены и простота интерпретации имеет значение.