В приведённом соображении есть ошибка в формулировке. Правильное утверждение состоит в следующем:

Если предел последовательности ( a_n ) равен ( L ), то предел её частичных сумм ( S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n ) не обязательно равен ( L ).

Изначально можно подумать, что если элементы последовательности стремятся к ( L ), то их сумма также должна стремиться к ( L ). Однако это не так. Примером может служить последовательность, элементы которой равны ( a_n = 1 ) для всех ( n ), тогда предел последовательности равен ( 1 ), но сумма её частичных сумм ( S_n = n ), которая стремится к бесконечности.

Таким образом, предел последовательности и предел её частичных сумм — это разные вещи, и из сходимости последовательности не следует сходимость её частичных сумм.