Квадратная матрица ( A ) имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель ( \det(A) ) не равен нулю. Определитель является важным показателем линейной зависимости столбцов и строк матрицы.

Если ( \det(A) \neq 0 ), это означает, что:

Столбцы матрицы ( A ) линейно независимы. Это означает, что ни один из столбцов не может быть представлен как линейная комбинация других столбцов. Таким образом, матрица занимает всё пространство столбцов размерности ( n ) (где ( n ) — размерность матрицы ( A )).

Строки матрицы ( A ) также линейно независимы по аналогичным причинам. Это означает, что матрица может быть обращена.

Линейная независимость столбцов приводит к тому, что система линейных уравнений ( Ax = b ) имеет единственное решение для любого вектора ( b ). Это единственное решение задается как ( x = A^{-1}b ), где ( A^{-1} ) — обратная матрица к ( A ).

Если (\det(A) = 0), то столбцы (или строки) матрицы навязывают линейную зависимость, что ведет к пустоте или бесконечному числу решений в не однородной системе уравнений, что соответственно нарушает существование обратной матрицы.

В итоге, связь между определителем и существованием обратной матрицы иллюстрирует, как свойства пространства столбцов (или строк) влияют на возможность решения системы векторов в линейной алгебре.