Для вычисления интеграла ( \int \sin^3 x \, dx ) мы можем использовать тригонометрическую подстановку и тригонометрическую идентичность. Один из наиболее распространенных способов заключается в использовании идентичности для выражения (\sin^3 x) через (\sin x) и (\cos x).

Рассмотрим следующий шаг:

Декомпозиция (\sin^3 x):
Мы можем выразить (\sin^3 x) через (\sin x) и (\sin^2 x):
[
\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x = \sin x (1 - \cos^2 x).
]
Это разложение позволяет легко интегрировать, так как оно связывает функции (\sin x) и (\cos x).

Подстановка:
Теперь мы можем провести интеграцию:
[
\int \sin^3 x \, dx = \int \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx.
]
Разделим интеграл:
[
= \int \sin x \, dx - \int \sin x \cdot \cos^2 x \, dx.
]

Теперь, вычисляем первый интеграл:
[
\int \sin x \, dx = -\cos x + C.
]

Для второго интеграла:
Мы можем сделать подстановку ( u = \cos x ), тогда ( du = -\sin x \, dx ) или, соответственно, ( dx = -\frac{du}{\sin x} ). Это приводит к тому, что нужно выразить (-\sin x \, dx) через (du):
[
-\int \sin x \cdot \cos^2 x \, dx = \int u^2 \, du.
]

Вычисление:
После подстановки контур интеграла становится простым:
[
\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\cos^3 x}{3} + C.
]

Итоговый результат:
Объединяя результаты, мы получаем:
[
\int \sin^3 x \, dx = -\cos x - \frac{\cos^3 x}{3} + C = -\frac{3\cos x + \cos^3 x}{3} + C.
]

Таким образом, использование тригонометрической идентичности и подстановки (\cos x) позволяет упростить интеграл (\int \sin^3 x \, dx).