Формула бинома Ньютона для действительных показателей выражается следующим образом:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k,$$

где коэффициенты $\binom{n}{k}$ определяются как

$$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$$

для произвольных действительных (в том числе дробных) значений $n$ и неотрицательных целых $k$.

Применение формулы для дробных показателей:

Чтобы использовать формулу бинома Ньютона для дробных показателей, например, для $n = \frac{1}{2}$, можно записать:

$$(a + b)^{\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} a^{\frac{1}{2}-k} b^k.$$

Здесь для нахождения $\binom{\frac{1}{2}}{k}$ вам нужно будет вычислять:

$$\binom{\frac{1}{2}}{k} = \frac{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}-1\right) \left(\frac{1}{2}-2\right) \ldots \left(\frac{1}{2} - (k-1)\right)}{k!}.$$

Ограничения:

Сходимость ряда: При использовании бинома Ньютона с дробными показателями важно учитывать, что ряд может не всегда сходиться. Для сходимости необходимо, чтобы модуль $b/a < 1$ (если $a$ и $b$ — это какие-то действительные числа).

Определение коэффициентов: Для некоторых дробных показателей, например, для отрицательных или очень больших дробных, коэффициенты могут быть сложны в вычислениях, и потребуется использовать специальные методы для работы с бесконечными рядами.

Кратность: Если применяемая формула включает в себя корни или отрицательные степени, то важно знать, в каких случаях результат будет действительным. Например, выражение $(a + b)^{-\frac{1}{2}}$ будет требовать, чтобы $a + b > 0$.

Таким образом, формула бинома Ньютона может быть применена для дробных показателей, но требует соответствующих условий для сходимости и правильности вычислений.