Утверждение "если функция непрерывна, то она дифференцируема" является неверным. Для его опровержения можно привести классический контрпример — функцию Вейерштрасса.

Контрпример: Функция Вейерштрасса

Рассмотрим функцию ( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cos(2^n \pi x) ). Эта функция является непрерывной на всем ( \mathbb{R} ), но не дифференцируемой ни в одной точке.

Объяснение:

Непрерывность: Функция Вейерштрасса строится как сумма непрерывных функций. Каждое слагаемое ( \frac{1}{2^n} \cos(2^n \pi x) ) непрерывно, и так как ряд сходится равномерно, то предельная функция также будет непрерывной по теореме о пределе непрерывных функций. Таким образом, ( f(x) ) непрерывна на всей числовой оси.

Недостаток дифференцируемости: Чтобы продемонстрировать, что ( f(x) ) не дифференцируема, можно использовать критерий дифференцируемости. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, должна существовать предел
[
f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h}.
]
Однако для функции Вейерштрасса этот предел не существует в любой точке, поскольку при ( h ) стремящемся к нулю колебания функции не утихают, и разность ( f(c + h) - f(c) ) становится неупорядоченной и хаотичной.

Таким образом, хотя функция ( f(x) ) и является непрерывной, она не является дифференцируемой в любой точке. Этот пример показывает, что непрерывность не гарантирует дифференцируемости функции.