Радиус сходимости степенного ряда можно определить с помощью нескольких методов, наиболее часто используемых из которых являются:

Формула Коши-Абеля:
Если у вас есть ряд вида ( \sum_{n=0}^{\infty} an z^n ), где ( z ) — комплексная переменная, то радиус сходимости ( R ) можно найти по формуле:
[
\frac{1}{R} = \limsup{n \to \infty} \sqrt[n]{|an|}
]
или
[
\frac{1}{R} = \lim{n \to \infty} \frac{|an|}{|a{n+1}|}
]
если предел существует.

Критерий Д’Aлембера (или радиус сходимости):
Этот метод основан на анализе предела отношения:
[
L = \lim{n \to \infty} \left| \frac{a{n+1}}{a_n} \right|
]
Если ( L ) конечен, то радиус сходимости ( R ) определяется как ( R = \frac{1}{L} ).

Критерий Раабе:
Этот критерий также позволяет находить радиус сходимости на основе предела:
[
L = \lim_{n \to \infty} n \left| \frac{an}{a{n+1}} \right|
]
При этом, если ( L ) конечен, то радиус сходимости ( R = \frac{1}{L} ).

Для большинства случаев наиболее простым и удобным методом является использование критерия Д’Aлембера, так как он часто дает быстрые и четкие результаты.

После нахождения радиуса сходимости важно также проверить, сходится ли ряд на границе круга сходимости. Для этого необходимо исследовать поведение ряда в точках границы ( |z| = R ).