Упрощение выражения (\log_a(b) \cdot \log_b(c)) можно выполнить, используя свойства логарифмов. В частности, воспользуемся формулой перехода между основаниями логарифмов:

[
\log_a(b) = \frac{\log_k(b)}{\log_k(a)}
]

и

[
\log_b(c) = \frac{\log_k(c)}{\log_k(b)}
]

где (k) - произвольное положительное число, не равное 1 (часто используется основание 10 или основание (e)).

Теперь подставим эти выражения в исходное:

[
\log_a(b) \cdot \log_b(c) = \left(\frac{\log_k(b)}{\log_k(a)}\right) \cdot \left(\frac{\log_k(c)}{\log_k(b)}\right)
]

В данном случае (\log_k(b)) в числителе и знаменателе сократятся:

[
= \frac{\log_k(c)}{\log_k(a)} = \log_a(c)
]

Таким образом, мы получили, что:

[
\log_a(b) \cdot \log_b(c) = \log_a(c)
]

Рассмотрение случаев, когда подстановка логарифмических тождеств может ввести ошибку

Неправильные основания: Если одно из оснований логарифмов меньше или равно нулю или равно 1, то логарифм будет неопределённым. Например, логарифм с основанием 1 не существует.

Несуществование логарифмов: Чтобы (\log_a(b)) был определён, необходимо, чтобы (a > 0) и (a \neq 1), так же как и (b > 0). Если эти условия не даны, то подстановка может вести к неопределённым ситуациям.

Отрицательные и нулевые аргументы: Логарифмы определены только для положительных аргументов. Если один из логарифмов имеет нулевой или отрицательный аргумент, то выражение будет неопределённым.

Сложные выражения: Если выражения более сложные, например, если логарифмы содержат функции или другие операции, их упрощение может объединить области определения различных частей выражения и привести к ошибке.

Таким образом, важно следить за тем, что все основания и аргументы логарифмов соответствуют условиям их определения, чтобы избежать ошибок, связанных с использованием логарифмических тождеств.