Проверка, является ли число простым, - важная задача в теории чисел, особенно в криптографии. Мы можем разделить методы проверки на два основных типа: детерминированные тесты и вероятностные тесты.

Детерминированные тесты

Тест делимости:

Простое число — это число больше 1, которое делится только на 1 и само на себя. Наивный способ проверки простоты — проверить делимость числа ( n ) всеми простыми числами до ( \sqrt{n} ). Если ни одно из них не делит ( n ), то ( n ) простое.

Алгоритм Эратосфена:

Этот алгоритм позволяет найти все простые числа до заданного предела. Он работает, исключая кратные простых чисел из списка. Хотя этот метод не предназначен для проверки отдельного числа, он может быть использован для определения простоты небольших чисел.

Тест Миллера-Рабина (в детерминированной модификации):

Этот алгоритм, хотя и является вероятностным, может быть модифицирован для детерминированного использования при проверке чисел в пределах определенного диапазона, используя фиксированные базовые числа. Например, для чисел до ( 2^{64} ) могут использоваться специальные базы, которые делают тест детерминированным.

Тест Ферма:

Подобно тесту Миллера-Рабина, тест Ферма также является вероятностным, но его модификации могут быть использованы для сокращения вероятности ложноположительных результатов.Вероятностные тесты

Тест Миллера-Рабина:

Это вероятностный тест, который проверяет, является ли число составным, используя базу случайных чисел. Он может возвращать ложноположительные результаты, но если число проходит множество тестов с различными базами, вероятность ошибки становится ничтожной.

Тест Ферма:

По теореме Ферма, если n — простое, то для любого целого числа a, которое не делится на n, должно выполняться ( a^{(n-1)} \equiv 1 \mod n ). Если это равенство не выполняется, то n составное. Однако, как и в случае с тестом Миллера-Рабина, здесь возможны ложноположительные результаты для так называемых "лохов" (чисел, которые выглядят простыми, но на самом деле являются составными).

Тест Соловея-Штрассена:

Это еще один вероятностный тест, который основан на свойствах модулярных арифметических выражений. Он быстрее, чем тесты на основе эквивалентности Ферма, и тоже возвращает вероятностный результат.Заключение

На практике, для проверки больших чисел на простоту чаще всего используют комбинацию вероятностных тестов и детерминированных алгоритмов. Например, числа могут сначала проверяться с помощью вероятностных тестов для выявления составности, а затем выбранные кандидаты проверяются с использованием детерминированных тестов для окончательной аттестации их простоты. Для больших чисел эффективные и надежные методы проверки простоты являются критически важными в криптографии и других областях вычислений.