Чтобы провести критический разбор доказательства утверждения "Сумма рациональных чисел всегда рациональна", начнем с точной формулировки самого утверждения и его определения.

Определение

Число ( q ) называется рациональным, если оно может быть представлено в виде ( q = \frac{a}{b} ), где ( a ) и ( b ) — целые числа (при этом ( b \neq 0 )).

Утверждение

Сумма двух рациональных чисел ( r_1 ) и ( r_2 ) всегда является рациональным числом.

Доказательство

Предположим, что ( r_1 ) и ( r_2 ) — два рациональных числа. Следовательно, существует ( a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{Z} ) такие, что:

[
r_1 = \frac{a_1}{b_1}, \quad r_2 = \frac{a_2}{b_2}
]

где ( b_1 \neq 0 ) и ( b_2 \neq 0 ).

Теперь найдем сумму ( r_1 + r_2 ):

[
r_1 + r_2 = \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2}
]

При этом ( a_1 b_2 + a_2 b_1 ) и ( b_1 b_2 ) являются целыми числами (так как целые числа замкнуты относительно сложения и умножения). Также ( b_1 b_2 \neq 0 ) (так как ни один из множителей не равен нулю).

Следовательно, можно записать:

[
r_1 + r_2 = \frac{c}{d}
]

где ( c = a_1 b_2 + a_2 b_1 ) — целое число, а ( d = b_1 b_2 ) — ненулевое целое число.

Таким образом, сумма двух рациональных чисел является рациональным.

Критический разбор

Корректность определения: В определении рационального числа вы правильно указали, что это либо дробь, либо представление конца. Важно, чтобы так же упоминался случай, когда числитель равен нулю.

Логическая последовательность: Доказательство следует логической цепочке. Сначала мы определяем два произвольных рациональных числа, затем выполняем операции над ними.

Обоснование арифметических операций: Доказательство указывает, что сумма двух целых чисел (числителей) также является целым числом и что произведение ненулевых целых чисел также ненулевое. Это является ключевым моментом.

Общность: Доказательство обобщает на любые рациональные числа, что важно для утвердительного результата.

Заключение

Доказательство "Сумма рациональных чисел всегда рациональна" является корректным и полным. Все шаги обоснованы, а утверждения подтверждаются математическими аксиомами. Утверждение является верным и общепринятым в математике.