Проверка выполнимости неравенств с модулем – это задача, которая может быть решена с помощью анализа значений выражений, содержащих модуль, и поиска возможных решений. Рассмотрим общий подход к решению таких неравенств.

Шаги для проверки выполнимости неравенств с модулем:

Запись неравенства:
Запишите неравенство в общем виде. Например, рассмотрим неравенство вида:
[
|f(x)| < g(x)
]
или
[
|f(x)| > g(x)
]
где (f(x)) и (g(x)) – некоторые функции.

Определение случаев:
Разделите неравенство на различные случаи в зависимости от выражения внутри модуля. Например:

для ( |f(x)| < g(x) ):
Если (f(x) \geq 0), то неравенство превращается в (f(x) < g(x)).Если (f(x) < 0), то неравенство становится (-f(x) < g(x)), что эквивалентно (f(x) > -g(x)).Для ( |f(x)| > g(x) ):
Если (f(x) \geq 0), неравенство будет (f(x) > g(x)).Если (f(x) < 0), оно станет (-f(x) > g(x)), что эквивалентно (f(x) < -g(x)).

Решение полученных неравенств:
Решите каждое из полученных неравенств для каждого из случаев. Это может потребовать использования алгебраических методов, таких как сложение, вычитание, деление и определение знаков.

Объединение решений:
Объедините решения из всех случаев. Важно учесть, что решения могут перекрываться или исключать друг друга, поэтому необходимо внимательно анализировать, какие решения являются действительными.

Проверка на допустимость:
Проверьте, что найденные решения удовлетворяют исходному неравенству. Это может требовать подстановки значений в оригинальное неравенство с модулем.

Запись результата:
Укажите, для каких значений переменной неравенство выполняется. Если решений нет, укажите это.

Пример:

Рассмотрим неравенство:
[
|x - 3| < 5
]

Определим случаи:

(x - 3 < 5) → (x < 8)(-(x - 3) < 5) → (3 - x < 5) → (x > -2)

Решим каждое из неравенств:

Сначала (x < 8)Затем (x > -2)

Объединим решения:
(-2 < x < 8)

Результат:
Неравенство ( |x - 3| < 5 ) выполняется для ( x ) в интервале ((-2, 8)).

Таким образом, с помощью данного метода вы можете проверять выполнимость неравенств с модулем.