В метрических пространствах понятия компактности и последовательной компактности тесно связаны, но имеют некоторые важные отличия.

Компактность (по Хаусдорфу): Метрическое пространство называется компактным, если из любого открытого покрытия можно извлечь конечное подмножество, которое тоже покрывает это пространство. Это свойство можно интерпретировать как "все точки могут быть объединены конечным количеством открытых множеств".

Последовательная компактность: Метрическое пространство называется последовательно компактным, если любая последовательность его точек имеет сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит этому пространству. Это свойство фокусируется на поведении последовательностей и их пределов.

Связь между понятиями

В метрических пространствах существует важный результат, который утверждает, что компактность и последовательная компактность эквивалентны. То есть, для метрических пространств:

Пространство компактно тогда и только тогда, когда оно последовательно компактно.

Однако эта эквивалентность не сохраняется в более общем классе топологических пространств. В частности, можно найти топологические пространства, которые компактны, но не последовательно компактны, и наоборот.

Пример 1: Компактность без последовательной компактности

Рассмотрим пространство (\ell^\infty), состоящее из всех ограниченных последовательностей чисел с нормой ( |x|_\infty = \sup_n |x_n| ). Это пространство является компактным в униформной топологии (которая является более слабой по сравнению с нормой), но не является последовательно компактным. Например, последовательность ( e_n = (0, 0, \ldots, 1, 0, \ldots) ) (где 1 стоит на n-ом месте) не имеет предела в (\ell^\infty).

Пример 2: Последовательная компактность без компактности

Рассмотрим пространство (\mathbb{R}) с стандартной топологией. Это пространство не компактно, так как открытое множество ((-1, 1)) не может быть покрыто конечным количеством открытых множеств. Однако если мы рассматриваем последовательности, например, последовательность чисел ({1/n}), то она сходится к 0, и таким образом отображает последовательную компактность в пределах отрезка [0, 1].

Эти примеры иллюстрируют, что в общем случае, хотя в метрических пространствах компактность и последовательная компактность эквивалентны, в более широком контексте эти понятия могут отличаться.