Чтобы доказать, что заданная матрица ( A ) является ортогональной, можно использовать свойства столбцов этой матрицы. Напомним, что матрица ( A ) размером ( n \times n ) называется ортогональной, если выполняется следующее условие:

[
A^T A = I,
]

где ( A^T ) — транспонированная матрица ( A ), а ( I ) — единичная матрица размером ( n \times n ).

Вот пошаговая стратегия доказательства, основываясь на использовании столбцов матрицы как базиса:

Определение столбцов матрицы: Пусть ( A = [\vec{a_1}, \vec{a_2}, \ldots, \vec{a_n}] ), где ( \vec{a_i} ) — это столбцы матрицы ( A ).

Проверка взаимной ортогональности: Для того чтобы матрица была ортогональной, необходимо удостовериться, что каждый столбец ( \vec{a_i} ) имеет длину 1 и что любые два различных столбца должны быть ортогональны. Это можно проверить с помощью следующих условий:

Длина каждого столбца: ( |\vec{a_i}|^2 = \vec{a_i}^T \vec{a_i} = 1 ) для всех ( i = 1, 2, \ldots, n ).Ортогональность разных столбцов: ( \vec{a_i}^T \vec{a_j} = 0 ) для всех ( i \neq j ).

Анализ условий: Поскольку ( A^T A ) — это матрица, в которой ( (i,j) )-й элемент равен ( \vec{a_i}^T \vec{a_j} ), то:

Если ( i = j ), то это равно 1 (длина столбца).Если ( i \neq j ), то это равно 0 (ортогональность).

Запись результата в матричной форме: Если все вышеуказанные условия выполняются, то матрица ( A^T A ) будет равна единичной матрице:

[
A^T A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 \
0 & 1 & \dots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \dots & 1
\end{bmatrix} = I.
]

Вывод: Таким образом, если столбцы матрицы ( A ) удовлетворяют условиям на длину и ортогональность, то матрица ( A ) является ортогональной.

Эта стратегия позволяет удобно проверить ортогональность матрицы, использую свойства её столбцов как базиса.