Конкретный пример задачи не был предоставлен, но я могу объяснить типичные ошибки, которые часто встречаются при работе с пределами последовательностей, особенно в контексте бесконечности.

Пример ошибки:

Предположим, вы решаете предел такой последовательности:

[
a_n = \frac{n^2 + 3n + 2}{2n^2 + 5n + 1}
]

При нахождении предела ( n \to \infty ) вы можете неправильно сделать следующее:

Выделить наибольшую степень ( n ) в числителе и знаменателе:

[
\frac{n^2(1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2})}{n^2(2 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2})}
]

Упростить до:

[
\frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{2 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}}
]

Теперь, когда ( n \to \infty ), можно было бы ошибочно сказать:

[
\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{1}{2}
]

Это верно, и здесь нет ошибки, но пример ошибки мог бы заключаться в выводе о том, что некий другой предел имеет вид, например, ( \frac{\infty}{\infty} ) и предоставление значения без дальнейшего анализа.

Частые ошибки:

Сложение или вычитание бесконечностей. Легко ошибиться, когда вы пытаетесь сложить или вычесть бесконечные величины без использования пределов.

Пример: если вы получаете ( \infty - \infty ), это неопределённость, и нужно использовать более строгие методы анализа.

Игнорирование условия «когда». Например, иногда студенты могут сделать переход к бесконечности, не указывая, что нужно анализировать поведение последовательности или функции при стремлении к данному значению.

Применение свойств пределов к неопределённостям. Некоторые свойства пределов действуют только в условиях конечности величин.

Как исправить ошибки:Грамотно работать с пределами. Перед применением любых операций с пределами, проверяйте, ведут ли они к неопределённым формам.Используйте теоремы о пределах. Если вы встречаете неопределённость, рассмотрите применение теоремы Лопиталя, разложение в ряд Тейлора или другие методы анализа пределов.Проверяйте промежуточные шаги. При сложных преобразованиях следует детально проверять каждый шаг.

Если у вас есть конкретная задача или пример, поделитесь с ним, и я помогу найти и исправить ошибку в решении.