Критерий Дарбу — это один из критериев, используемых для исследования равномерной сходимости последовательности или ряда функций. Он утверждает, что если последовательность функций ( f_n(x) ) определяется на неком множестве ( D ) и существует такая последовательность ( M_n ) (неотрицательных чисел), что:

Для всех ( n ) и ( x \in D ) выполняется ( |f_n(x)| \leq M_n ).Ряд ( \sum M_n ) сходится.

То тогда последовательность функций ( f_n(x) ) равномерно сходится на множестве ( D ).

Пример применения критерия Дарбу

Рассмотрим последовательность функций:

[
f_n(x) = \frac{x^n}{n} \quad \text{на } [0, 1]
]

Для начала найдем оценки для ( |f_n(x)| ):

[
|f_n(x)| = \frac{x^n}{n} \leq \frac{1^n}{n} = \frac{1}{n} \quad \text{для всех } x \in [0, 1]
]

Теперь определим ( M_n = \frac{1}{n} ). Мы видим, что ( |f_n(x)| \leq M_n ).

Далее, исследуем сходимость ряда:

[
\sum_{n=1}^{\infty} Mn = \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
]

Этот ряд расходится (это известный гармонический ряд). Однако, следует учесть, что в нашем случае ( M_n ) должно обеспечивать сходимость не по всей последовательности ( f_n ), а только для её верхних оценок.

Теперь рассмотрим другой подход:

Обратите внимание на поведение ( f_n(x) ) при ( x < 1 ). На промежутке ( [0, 1 - \epsilon] ) (для любого ( \epsilon > 0 )) функция ( f_n(x) ) для больших ( n ) стремится к 0 (поскольку ( x^n \to 0 ) при ( x < 1 )). А для ( x = 1 ) мы имеем:

[
f_n(1) = \frac{1}{n} \to 0 \text{ при } n \to \infty.
]

Следовательно, ( f_n(x) ) сходится к 0 для всех ( x \in [0, 1] ) (в том числе, используя линейную оценку, которая равняется ( \frac{1}{n} )).

Теперь подведем итог:

Поскольку ряд ( \sum \frac{1}{n} ) расходится, мы не можем однозначно применить критерий Дарбу просто так. Но тем не менее, можно увидеть, что ( f_n(x) ) убывает до нуля равномерно по ( [0,1] ), если принять во внимание кажущуюся закономерность в общем случае последовательности.

На этом примере видно, как важно учитывать само множество и его ограничения при анализе процессов сходимости.