Чтобы доказать, что ортогональный проектор на подпространство является линейным и самосопряженным оператором, начнем с определения ортогонального проектора.

Пусть $V$ — векторное пространство, а $W\subseteq V$ — подпространство. Ортогональный проектор $P$ на подпространство $W$ — это линейный оператор, который для любого вектора $x\in V$ возвращает вектор $P(x)\in W$, такой что $P(x)$ является ортогональной проекцией $x$ на $W$.

Линейность

Для того чтобы показать, что оператор $P$ является линейным, необходимо продемонстрировать, что он удовлетворяет двум свойствам линейности:

$P(x+y)=P(x)+P(y)$ для любых $x,y\in V$$P(\alpha x)=\alpha P(x)$ для любого $x\in V$ и любого скаляра $\alpha$

Доказательство первой свойства:

Пусть $x,y\in V$. Тогда $P(x+y)$ является ортогональной проекцией вектора $x+y$ на подпространство $W$.Разделим $x$ и $y$ на их компоненты по подпространству $W$ и его ортогональному дополнению:
$$x=P(x)+(x-P(x)),y=P(y)+(y-P(y)).$$Тогда
$$P(x+y)=P(P(x)+(x-P(x))+P(y)+(y-P(y)))=P(P(x))+P(P(y))+P((x-P(x)))+P((y-P(y))).$$Поскольку $P$ — проектор, то $P(P(x))=P(x)$ и аналогично для $y$. Кроме этого, $P$ берет ортогональную часть $орто$ на ноль:
$$P(x-P(x))=0,P(y-P(y))=0.$$Тогда
$$P(x+y)=P(x)+P(y).$$

Доказательство второго свойства:

Для любого скаляра $\alpha$ и вектора $x\in V$ имеем:
$$P(\alpha x)=\alpha P(x).$$ Это также следует из линейности определения проекции на подпространство.

Таким образом, оператор $P$ является линейным оператором.

Самосопряженность

Теперь покажем, что $P$ является самосопряженным. Это означает, что для любых $x,y\in V$:
$$⟨P(x),y⟩=⟨x,P(y)⟩.$$

Доказательство самосопряженности:

Обозначим проекции $P(x)$ и $P(y)$ как $x_W$ и $y_W$ соответственно, где подчеркивается, что эти векторы лежат в подпространстве $W$.Поскольку $P(x)$ — это проекция, то для любого $y\in V$, мы можем написать:
$$x_W=P(x),y_W=P(y).$$Учитывая, что $P$ — ортогональный проектор, для любого $y\in V$:
$$⟨P(x),y⟩=⟨x_W,y⟩=⟨x,y_W⟩=⟨x,P(y)⟩.$$

Таким образом, мы показали, что $P$ — самосопряженный оператор.

Заключение

Мы продемонстрировали, что ортогональный проектор на подпространство является линейным и самосопряженным оператором.