Для доказательства непрерывности обратной функции часто используют несколько основных теорий и результатов анализа. В частности, важным является теорема о непрерывности обратной функции $такжеизвестнаякактеоремаонепрерывностидлялокальнобиективныхфункций$ и условия компактности.

Теорема о непрерывности обратной функции: если функция $f:U\to {\mathbb{R}}^n$ $где(U)—открытоемножество$ является непрерывной, инъективной и имеет непрерывную обратную функцию $например,если(f)—дифференцируемаяиееякобианнеравеннулювездена(U)$, то $f$ имеет непрерывное обратное отображение.

Лемма о непрерывной зависимости: если $f$ — непрерывная и открытая функция, и возвращает точки из $U$, то обратная функция $f^{-1}$ будет тоже непрерывной.

Изучение свойств компактности: если $f$ является непрерывной и инъективной, и если $U$ — компактен, то $f(U)$ также будет компактен $потеоремеонепрерывностиизображениякомпакта$. Поскольку всякий компактен подмножество в ${\mathbb{R}}^n$ замкнуто и ограничено, это может помочь доказать свойства обратной функции.

Компактность имеет важное значение, так как позволяет применять теоремы о непрерывных функциях:

Компактные множество и изображения: если мы работаем на компактном множестве, то мы можем гарантировать, что каждая непрерывная функция на этом множестве достигает максимума и минимума, что может быть использовано для доказательства существования обратной функции.

Непрерывность на замкнутых и ограниченных множествах: если функция непрерывна на компактном множестве, а ее образ также компактный $чтовсегдавернодлянепрерывногоизображениякомпактногоподмножества$, это позволяет утверждать, что любая идущая из неё обратная функция будет тоже непрерывной.

Таким образом, компактность выступает в качестве ключевого инструмента для осуществления различных переходов и установления взаимосвязей между функциями и их образами, что, в свою очередь, позволяет обеспечить условия для существования и непрерывности обратной функции.