Чтобы найти, на сколько сумма $1+3+\dots +99$ меньше суммы $2+4+\dots +100$, сначала вычислим обе суммы.

Сумма $1+3+\dots +99$:

Это последовательность нечетных чисел от 1 до 99. Точное количество слагаемых можно найти следующим образом:

Первый член: 1Последний член: 99Разность: 2

Количество членов можно найти по формуле:
$$n=\frac{99-1}{2}+1=50$$

Сумма нечетных чисел от 1 до $n$ может быть найдена по формуле:
$$S_n=n^2$$ где $n$ — количество членов. В нашем случае $n=50$:
$$S=50^2=2500$$

Сумма $2+4+\dots +100$:

Это последовательность четных чисел от 2 до 100. Рассчитаем количество членов:

Первый член: 2Последний член: 100

Количество членов можно найти так:
$$n=\frac{100-2}{2}+1=50$$

Сумма четных чисел от 2 до $n$ может быть найдена по формуле:
$$S=n(n+1)$$ где $n$ — количество членов. В нашем случае $n=50$:
$$S=50\times 51=2550$$

Теперь найдём, на сколько сумма $1+3+\dots +99$ меньше суммы $2+4+\dots +100$:
$$2550-2500=50$$

Таким образом, сумма $1+3+\dots +99$ меньше суммы $2+4+\dots +100$ на $50$.