Чтобы найти и обосновать все натуральные решения уравнения (x^2 + y^2 = z^2), мы можем рассмотреть это уравнение как уравнение Пифагора. Оно описывает длины сторон прямоугольного треугольника, где (z) — гипотенуза, а (x) и (y) — катеты.

Натуральные решения

Для нахождения натуральных решений уравнения (x^2 + y^2 = z^2) можно использовать параметризацию Пифагоровых троек. Все натуральные решения этого уравнения могут быть выражены через два натуральных числа (m) и (n), где (m > n > 0):

[
x = m^2 - n^2,
]
[
y = 2mn,
]
[
z = m^2 + n^2.
]

Это гарантирует, что (x), (y) и (z) будут натуральными числами, если (m) и (n) натуральные числа, и (m > n).

Обоснование

Параметризация (x), (y) и (z) гарантирует, что (x^2 + y^2 = z^2) выполнено:
[
(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2.
]
Раскроим скобки:
[
(m^2 - n^2)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4,
]
[
(2mn)^2 = 4m^2n^2,
]
[
(m^2 + n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4.
]
Теперь складываем:
[
m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4,
]
что доказывает данное равенство.

Какие лестные тройки ( (x, y, z) ) могут быть вновь получены из простых:

Если ((x_0, y_0, z_0)) — это решение, то любое решение полученное как ((k x_0, k y_0, k z_0)), где (k) — натуральное число, также является решением.Обобщение для рациональных решений

Для получения рациональных решений уравнения (x^2 + y^2 = z^2), можно использовать аналогичные параметры:

[
x = \frac{m^2 - n^2}{d}, \quad y = \frac{2mn}{d}, \quad z = \frac{m^2 + n^2}{d},
]
где (m) и (n) — произвольные натуральные числа, а (d) — положительное рациональное число. Значения (x), (y) и (z) будут рациональными, если (d) является делителем чисел в числителе.

В результате, все рациональные решения уравнения (x^2 + y^2 = z^2) выражаются через эту обобщенную формулу, позволяя находить решения для любых рациональных значений, а также демонтрируя связь между целыми, натуральными и рациональными числами.