Для создания примера несимметричной, но диагонализируемой матрицы размера (3 \times 3), можно воспользоваться понятиями о собственных значениях и собственных векторах.

Пример матрицы

Рассмотрим следующую матрицу:
[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
]

Проверим ее свойства:

Несимметричность:
Матрица (A) несимметрична, так как (A \neq A^T), где (A^T) — транспонированная матрица. Например, элемент ((1, 2) = 2), а элемент ((2, 1) = 0).

Диагонализируемость:
Чтобы матрица была диагонализируемой, необходимо, чтобы существовали три линейно независимых собственных вектора. Мы найдем собственные значения и соответствующие им собственные векторы.

Находим собственные значения

Для поиска собственных значений решим характеристическое уравнение:
[
\det(A - \lambda I) = 0
]
где (I) — единичная матрица:

[
A - \lambda I = \begin{pmatrix}
1 - \lambda & 2 & 0 \
0 & 1 - \lambda & 0 \
0 & 0 & 3 - \lambda
\end{pmatrix}
]

Вычисляем определитель:
[
\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(1 - \lambda)(3 - \lambda) = (1 - \lambda)^2(3 - \lambda) = 0
]

Таким образом, собственные значения:

(\lambda_1 = 1) (двойное),(\lambda_2 = 3) (простое).Находим собственные векторы

Для (\lambda_1 = 1):
[
(A - I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix}
0 & 2 & 0 \
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{pmatrix} = 0
]
Это уравнение дает:
(2x_2 = 0) и (2x_3 = 0), что означает (x_2 = 0) и (x_3) может быть любым. Один собственный вектор может быть (v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}) и второй собственный вектор может быть (v_2 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}) (линейная независимость).

Для (\lambda_2 = 3):
[
(A - 3I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix}
-2 & 2 & 0 \
0 & -2 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{pmatrix} = 0
]
Это уравнение дает:
(-2x_1 + 2x_2 = 0) (или (x_1 = x_2)) и (x_3) может быть любым. Один собственный вектор может быть (v_3 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}).

Условия диагонализируемостиДля поля ( \mathbb{R} ): матрица диагонализируема, если количество линейно независимых собственных векторов равно размерности матрицы (в данном случае 3).Можно подвести итог, что для матрицы размером (3\times3) необходимо наличие 3 линейно независимых собственных векторов, что в нашем примере выполняется, несмотря на то, что матрица не симметрична.

Таким образом, матрица (A) является примером несимметричной, но диагонализируемой над ( \mathbb{R} ).