Для функции ( f(x) = x^x ) на положительной полуоси ( x > 0 ) начнем с анализа ее свойств.

1. Нахождение производной и критических точек

Сначала найдем производную функции. Для этого используем правило дифференцирования функции вида ( u^v ), в данном случае ( f(x) = e^{x \ln x} ).

Обозначим:
[
f(x) = e^{x \ln x}
]

Теперь берем производную:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x \ln x}) = e^{x \ln x} \cdot ( \ln x + 1 )
]
где мы применили правило производной сложной функции и производную ( x \ln x ):
[
\frac{d}{dx}(x \ln x) = \ln x + 1
]

Таким образом, получаем:
[
f'(x) = x^x (\ln x + 1)
]

2. Критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
[
x^x (\ln x + 1) = 0
]
Поскольку ( x^x > 0 ) для ( x > 0 ), у нас остаётся уравнение:
[
\ln x + 1 = 0
]
Решаем его:
[
\ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}
]

Таким образом, мы нашли одну критическую точку: ( x = \frac{1}{e} ).

3. Вторичная производная и выпуклость

Теперь найдем вторую производную, чтобы исследовать выпуклость. Для этого воспользуемся производной первого порядка:
[
f'(x) = x^x (\ln x + 1)
]
Теперь берем производную:
[
f''(x) = \frac{d}{dx}(x^x (\ln x + 1))
]
Используем правило произведения:
[
f''(x) = f'(x) \cdot (\ln x + 1) + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x + 1)
]
Где ( \frac{d}{dx}(\ln x + 1) = \frac{1}{x} ). Подставляем:
[
f''(x) = x^x (\ln x + 1)^2 + x^x \cdot \frac{1}{x}
]
[
= x^x \left((\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x}\right)
]

4. Анализ знаков производных

Теперь можем провести анализ:

Для ( x < \frac{1}{e} ): ( \ln x < -1 ) следовательно, ( f'(x) < 0 ) (функция убывает).В точке ( x = \frac{1}{e} ): ( f'(x) = 0 ) (экстремум).Для ( x > \frac{1}{e} ): ( \ln x > -1 ) следовательно, ( f'(x) > 0 ) (функция возрастает).

Таким образом, у нас есть минимум в точке ( x = \frac{1}{e} ).

5. Выпуклость функции

Теперь рассмотрим ( f''(x) ):

( f''(x) > 0 ) для ( x > 0 ) (так как ( x^x > 0 ) и выражение в скобках положительно для ( x > e^{-1} )).Для ( x < \frac{1}{e} ): ( (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x} > 0 ) (это выражение также положительное, поскольку вторая часть ( \frac{1}{x} ) всегда положительна на ( (0, \infty) )).

Таким образом, функция ( f(x) = x^x ) является выпуклой на всей положительной полуоси ( x > 0 ).

ЗаключениеЭкстремум: Минимум в точке ( x = \frac{1}{e} ).Функция ( f(x) = x^x ) возрастает для ( x > \frac{1}{e} ) и убывает для ( x < \frac{1}{e} ).Выпуклость: Функция ( f(x) ) является выпуклой на интервале ( (0, \infty) ).