Если дан многочлен третьей степени, имеющий один вещественный корень и два комплексных корня, то он можно записать в виде:

[ P(x) = a(x - r)(x^2 + bx + c) ]

где ( r ) — вещественный корень, ( x^2 + bx + c ) — квадратный многочлен, имеющий два комплексных корня (при этом ( b^2 - 4c < 0 )).

Свойства производной

Производная многочлена ( P(x) ) равна:

[ P'(x) = a \left( (x - r)'(x^2 + bx + c) + (x - r)(x^2 + bx + c)' \right) ]

В результате применения правила произведения, получим:

[ P'(x) = a \left( (x^2 + bx + c) + (x - r)(2x + b) \right) ]

Поскольку ( P(x) ) — многочлен третьей степени, его производная — многочлен второй степени. У него может быть 0, 1 или 2 вещественных корня, так как степень производной на 1 меньше, чем степень исходного многочлена.

Расположение критических точек

Критические точки многочлена находятся там, где производная равна нулю:

[ P'(x) = 0 ]

Если производная имеет два вещественных корня: В этом случае будет две критические точки, и функция ( P(x) ) будет иметь два экстремума — локальный максимум и локальный минимум. Это возможно в том случае, если ( P'(x) ) имеет два различных вещественных корня.

Если производная имеет один вещественный корень: В этом случае у нас будет одна критическая точка. Это может быть либо седловая точка, либо локальный максимум или минимум, в зависимости от второго производного теста.

Если производная не имеет вещественных корней: В этом случае у производной не будет критических точек, и многочлен ( P(x) ) будет строго возрастать или убывать на всем своём определении.

Вывод

Таким образом, у многочлена третьей степени с одним вещественным корнем и двумя комплексными корнями производная может иметь 0, 1 или 2 критических точки, что зависит от значений коэффициентов при производной и их расположения. В случае, если производная имеет два вещественных корня, это указывает на наличие локального максимума и минимума.