Утверждение о том, что если последовательность функций сходится поточечно к непрерывной функции, то сходимость равномерна, неверно. Для иллюстрации этого можно привести классический контрпример, связанный с последовательностью функций, определённых на отрезке ([0, 1]).

Рассмотрим последовательность функций ( f_n(x) = x^n ) для ( x \in [0, 1] ). Функция ( f_n(x) ) является непрерывной для каждого ( n ), и мы рассмотрим её предельное поведение.

1. Поточечная сходимость: Для фиксированного ( x \in [0, 1) ) имеет место:
[
\lim_{n \to \infty} fn(x) = \lim{n \to \infty} x^n = 0.
]
Для ( x = 1 ):
[
\lim_{n \to \infty} f_n(1) = 1.
]
Таким образом, последовательность ( f_n(x) ) сходится поточечно к функции:
[
f(x) = \begin{cases}
0, & \text{если } 0 \leq x < 1, \
1, & \text{если } x = 1.
\end{cases}
]

2. Непрерывность предельной функции: Однако функция ( f(x) ) не является непрерывной, так как она имеет разрыв в точке ( x = 1 ). Тем не менее, мы можем скорректировать наш пример.

Опять же, рассмотрим последовательность ( f_n(x) = x^n ) и их предел 0 для ( x \in [0, 1) ). Это не обосновывает наше первоначальное требование о непрерывной функции.

Теперь возьмём другой случай:

3. Новый контрпример: Рассмотрим последовательность ( fn(x) = \frac{x}{n} ) на отрезке ([0, 1]). Эта последовательность сходится поточечно к нулевой функции:
[
\lim{n \to \infty} f_n(x) = 0 \quad \text{для всех } x \in [0, 1].
]

Функция, к которой сходится последовательность ( f_n(x) ), непрерывна, так как это просто ( f(x) = 0 ). Однако мы можем проверить сходимость на равномерность.

4. Проверка равномерной сходимости: Для равномерной сходимости необходимо, чтобы
[
\lim{n \to \infty} \sup{x \in [0, 1]} |fn(x) - f(x)| = 0.
]
Здесь получаем:
[
\sup{x \in [0, 1]} \left| \frac{x}{n} - 0 \right| = \frac{1}{n} \to 0,
]
что соответствует равномерной сходимости. Поэтому давайте вернемся к # 1.

Вернемся к последовательности ( fn(x) = x^n ). Она не является равномерно сходящейся, поскольку
[
\sup{x \in [0,1]} |fn(x) - f(x)| = \sup{x \in [0,1]} |x^n - 0| = 1,
]
что не стремится к 0.

Таким образом, последовательности, сходящиеся поточечно к непрерывной функции, могут не быть равномерно сходящимися.