Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух полиномов над полем рациональных чисел ( \mathbb{Q} ) можно воспользоваться расширением алгоритма Евклида, использующим деление с остатком, аналогично тому, как это делается с простыми числами. Давайте рассмотрим шаги этого алгоритма.

Алгоритм нахождения НОД полиномов

Ввод данных: Пусть у нас есть два полинома ( A(x) ) и ( B(x) ) с коэффициентами из ( \mathbb{Q} ).

Проверка на нулевой полином: Если ( B(x) = 0 ), то ( \text{НОД}(A, B) = A(x) ). Если ( A(x) = 0 ), то ( \text{НОД}(A, B) = B(x) ).

Деление полиномов: Мы делим ( A(x) ) на ( B(x) ) и находим частное ( Q(x) ) и остаток ( R(x) ) так, что:
[
A(x) = B(x) Q(x) + R(x)
]
где степень ( R(x) ) меньше степени ( B(x) ).

Предположительно, продолжаем: Если ( R(x) \neq 0 ), то продолжаем выполнение шага 3, заменяя ( A(x) ) на ( B(x) ) и ( B(x) ) на ( R(x) ).

Завершение: Процесс продолжается до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. На последнем шаге, когда остаток будет равен нулю, НОД будет равен последнему ненулевому остатоку.

Нормализация: Для получения канонической формы НОД полиномы часто нормализуют так, чтобы ведущий коэффициент равнялся 1 (или имел положительный знак).

Обсуждение вычислительной сложности

Вычислительная сложность алгоритма для нахождения НОД полиномов можно оценить аналогично алгоритму Евклида для целых чисел. Основные факторы, влияющие на сложность, включают:

Степень полиномов: Пусть степени полиномов ( A(x) ) и ( B(x) ) равны ( deg(A) ) и ( deg(B) ). В каждом шаге алгоритма степени полиномов уменьшаются, и по сути алгоритм делает конечное число делений.

Затраты на деление полиномов: Деление двух полиномов степени ( n ) и ( m ) наименьших требует ( O(n \cdot m) ) операций (умножений и сложений). Это может быть оптимизировано, если мы используем другие методы (например, быстрое деление полиномов), однако базовый метод имеет такую сложность.

Общие затраты: Принимая во внимание, что каждой итерации соответствует деление полиномов, в худшем случае, общее число шагов будет пропорционально степени первоначальных полиномов. Если ( d ) — максимальная степень полиномов, то общее время выполнения будет ( O(d^2) ) в наивном варианте.

Таким образом, алгоритм нахождения НОД полиномов над полем рациональных чисел имеет схожую с алгоритмом Евклида сложность, и при оптимизации он может быть достаточно эффективным для большинства задач.