Для нахождения точек экстремума и седловых точек функции ( f(x,y) = x^3 - 3xy^2 ) будем использовать метод частных производных.

Находим частные производные:

[
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2
]

[
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -6xy
]

Решаем систему уравнений для нахождения критических точек:

Найдем точки, где обе частные производные равны нулю:

[
f_x = 0 \implies 3x^2 - 3y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 \implies y = \pm x
]

[
f_y = 0 \implies -6xy = 0 \implies xy = 0
]

Это означает, что либо ( x = 0 ), либо ( y = 0 ). Теперь рассмотрим каждый случай:

Случай ( x = 0 ):

[
y = \pm 0 \implies (0, 0)
]

Случай ( y = 0 ):

[
y = 0 \implies x = \pm 0 \implies (0, 0)
]

Случай ( y = x ):

Подставим ( y = x ) в уравнение ( xy = 0 ):

[
x \cdot x = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0 \implies y = 0 \implies (0, 0)
]

Случай ( y = -x ):

Подставим ( y = -x ):

[
x \cdot (-x) = 0 \implies -x^2 = 0 \implies x = 0 \implies y = 0 \implies (0, 0)
]

Таким образом, единственная критическая точка: ( (0, 0) ).

Определяем характер критической точки с помощью второго порядка производных:

Вычисляем вторые частные производные:

[
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x
]

[
f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -6x
]

[
f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -6y
]

В точке ( (0, 0) ):

[
f{xx}(0, 0) = 6 \cdot 0 = 0
]
[
f{yy}(0, 0) = -6 \cdot 0 = 0
]
[
f_{xy}(0, 0) = -6 \cdot 0 = 0
]

Теперь рассчитываем определитель Гессиана:

[
D = f{xx} f{yy} - (f_{xy})^2 = 0 \cdot 0 - 0^2 = 0
]

Поскольку ( D = 0 ), мы не можем установить характер критической точки ( (0, 0) ) с помощью второго производного теста, что указывает на то, что нам нужно использовать другие методы или анализировать окружающую область.

Точка ( (0, 0) ) является седловой точкой для данной функции. Это можно увидеть, проанализировав поведение функции в разных направлениях. Например, если мы рассмотрим направления вдоль осей и под углом, то в определенных направлениях функция будет возрастать, а в других - убывать, что соответствует определению седловой точки.

Функция ( f(x,y) = x^3 - 3xy^2 ) имеет зону, в которой поведение функции меняется, что может быть продемонстрировано, обозначая значения функции для различных значений ( x ) и ( y ).