Для квадратного уравнения вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) условие на коэффициенты, при котором оба корня меньше 1 по модулю, можно вывести следующим образом.

Обозначим корни уравнения как ( x_1 ) и ( x_2 ). По теореме Виетта, для квадратного уравнения выполняются следующие соотношения:
[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.
]

Чтобы оба корня были меньше 1 по модулю, нужно, чтобы выполнялись следующие условия:

(|x_1| < 1)(|x_2| < 1)

Эти условия приводят к следующим неравенствам:

Для корней первого уравнения:
[
|x_1| < 1 \quad \Longrightarrow \quad -1 < x_1 < 1,
]
[
-1 < -\frac{b}{a} - x_2 < 1 \quad \Longrightarrow \quad -1 - x_2 < -\frac{b}{a} < 1 - x_2.
]

Аналогично для второго корня:
[
-1 < x_2 < 1 \quad \Longrightarrow \quad -1 < -\frac{b}{a} - x_1 < 1 \quad \Longrightarrow \quad -1 - x_1 < -\frac{b}{a} < 1 - x_1.
]

Также, для того чтобы оба корня были меньше 1, необходимо удовлетворять следующим условиям:

Сумма корней должна быть в пределах от -2 до 0:
[
-2 < -\frac{b}{a} < 0 \quad \Longrightarrow \quad 0 < b < 2a.
]

Произведение корней также должно быть меньше 1:
[
0 < \frac{c}{a} < 1 \quad \Longrightarrow \quad 0 < c < a.
]

Таким образом, условия на коэффициенты ( a, b, c ) для того, чтобы оба корня квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) были меньше 1 по модулю, могут быть записаны в виде:
[
0 < b < 2a \quad \text{и} \quad 0 < c < a.
]

Пример проверки

Рассмотрим квадратное уравнение ( x^2 - 1.5x + 0.5 = 0 ):

Здесь ( a = 1, b = -1.5, c = 0.5 ).

Проверим условия:

( 0 < c < a ) → ( 0 < 0.5 < 1 ) (выполнено)( 0 < b < 2a ) → ( 0 < -1.5 < 2 \cdot 1 ) (не выполнено, так как ( b < 0 ))

Таким образом, для заданного уравнения края не выполняется одно из условий, и мы можем ожидать, что не все корни будут иметь модуль меньше 1.

Теперь найдем корни уравнения:
[
D = b^2 - 4ac = (-1.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5 = 2.25 - 2 = 0.25,
]

[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.5 \pm 0.5}{2} = {1, 0.5}.
]

Корни ( 1 ) и ( 0.5 ) — действительно, корень ( 1 ) не удовлетворяет требованию ( |x| < 1 ).

Это подтверждает, что условия должны быть строгими для того, чтобы оба корня находились внутри модуля 1.