Метод Ньютона (или метод Ньютона-Рафсона) — это итеративный численный метод, используемый для нахождения корней функции ( f(x) = 0 ). Основная идея метода заключается в том, чтобы использовать касательную к графику функции для последовательного приближения к корню.

Алгоритм метода НьютонаНачальное приближение: Выберите начальное приближение ( x_0 ).Итерация: На каждой итерации вычисляется следующее приближение по формуле:
[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
]
где ( f'(x_n) ) — это производная функции ( f ) в точке ( x_n ).Остановка: Итерации продолжаются до тех пор, пока разность ( |x_{n+1} - xn| ) не станет меньше заданной точности или пока ( |f(x{n+1})| ) не станет меньше порогового значения.Причины расходимости метода

Метод Ньютона может расходиться по нескольким причинам:

Выбор начального приближения: Если начальное приближение далеко от истинного корня или находится в точке, где производная ( f'(x) ) близка к нулю, это может привести к большому шагу и, как следствие, к расходимости.

Неподходящая функция: Если функция ( f(x) ) имеет точки перегиба, локальные максимумы или минимумы, метод может «застрять» и не сходиться к корню.

Кратные корни: Если ( x = r ) — кратный корень функции (например, ( f(x) = (x - r)^k ) для ( k > 1 )), сходимость может ухудшиться. В таком случае производная может быть равна нулю или очень близка к нулю, и итерации могут сильно отклоняться.

Как предотвратить расходимость

Вот несколько рекомендаций по предотвращению расходимости метода Ньютона:

Тщательный выбор начального приближения: Лучше делать предварительный анализ функции (например, графически) для выбора наиболее подходящего начального приближения ( x_0 ).

Использование перегрузки: Если функция производная ( f'(x_n) ) близка к нулю, можно попробовать использовать специальную модификацию метода Ньютона или выбрать другое начальное приближение.

Замена метода: Если имеет смысл, можно сначала использовать другие методы для нахождения приближенного корня (например, метод бисекции), а затем уточнить найденное значение с помощью метода Ньютона.

Метод Ньютона с постоянным шагом: Вместо прямого применения формулы можно использовать модификации, которые включают относительный шаг, чтобы избежать слишком больших изменений.

Проверка сходимости: Можно ввести дополнительные условия для остановки итераций, чтобы предотвратить зацикливание.

Регуляризация функции: Если возможно, рассмотрите возможность изменения функции или применения численных методов для её улучшения.

Использование этих подходов может повысить надежность метода Ньютона и улучшить вероятность сходимости к корню функции.