Метод Гаусса, или интегрирование Гаусса, позволяет численно вычислять определённые интегралы с высокой точностью. Этот метод использует опорные точки (или узлы) и весовые коэффициенты для аппроксимации интеграла функции.

Выбор опорных точек

Определение интервала интегрирования: Сначала нужно определить интервал интегрирования ([a, b]).

Координирование узлов: Для метода Гаусса используется определенное количество опорных точек. Например, для метода Гаусса с (n) узлами используются (n) опорных точек:

Для 2 узлов используются точки: (x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}).Для 3 узлов: (x_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}}, x_2 = 0, x_3 = \sqrt{\frac{3}{5}}).

Приведение к стандартному интервалу: Для применения метода, чаще всего, интервал ([a, b]) сначала преобразуется в стандартный интервал ([-1, 1]) с помощью линейного преобразования:
[
t = \frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}
]
где (x) — узловые точки в интервале ([-1, 1]).

Расчёт весов: После выбора узлов (x_i) необходимо определить весовые коэффициенты (w_i), которые также зависят от выбранного метода Гаусса.

Почему полиномы высокой степени дают точность для гладких функций

Использование полиномов высокой степени в методах численной интеграции, таких как метод Гаусса, связано с несколькими основными аспектами:

Аппроксимация функций: Гладкие функции почти всегда можно хорошо аппроксимировать полиномами (по теореме Тейлора, например). Полиномы высокой степени могут точно представлять сложные кривые.

Ортогональность полиномов: Узлы Гаусса выбираются из условий ортогональности полиномов, что минимизирует ошибку интегрирования. Полиномы Лежандра, используемые в методе Гаусса, хорошо распределены в области интегрирования, что помогает достичь высокой точности.

Степень точности: Метод Гаусса с (n) узлами точно вычисляет интеграл для полиномов до степени (2n-1). Это означает, что при использовании (n) узлов метод способен воспроизводить высокую точность не только для простых, но и для сложных полиномов.

Ошибка интегрирования: Ошибка интегрирования для гладких функций уменьшается при использовании полиномов высокой степени. Поскольку гладкие функции в большинстве случаев представляют близкие к полиномам формы, метод Гаусса демонстрирует высокую стабильность и точность.

В результате, применение полиномов высокой степени позволяет эффективно и точно приблизить интеграл для гладких функций, сводя ошибку к минимуму благодаря сочетанию стратегического выбора узлов и весов.