Интеграл по конечной мере действительно может зависеть от выбора представителя почти везде равного, и это связано с тем, что в общем случае интеграция зависит от свойств функции, которые изучаются на множестве пробелов, а не только в самой функции.

Рассмотрим два измеримые (или интегрируемые) множества функций (f) и (g) такие, что (f(x) = g(x)) почти везде относительно меры (то есть существует множество меры ноль, на котором эти функции могут отличаться).

Согласно теории интегрируемых функций, интеграл от функции определяется как предел суммы значений функции по измеримым множествам, взвешенных по мере. Если интеграл существует для двух функций, которые совпадают почти везде, то их интегралы совпадают, то есть:

[
\int f \, d\mu = \int g \, d\mu,
]

где (\mu) – это мера (например, Лебегова мера).

Однако если у вас есть два представителя (f) и (g), которые не равны, но оба интегрируемы и могут различаться на множестве, которое имеет положительную меру, тогда и значения интегралов могут быть различными. Например:

Пусть (f(x) = 1) для всех (x) в интервале ([0, 1]) (то есть (f) – константа).Пусть (g(x) = 1) для (x \in [0, 0.5]) и (g(x) = 2) для (x \in (0.5, 1]).

Функция (g) отличается от функции (f) на множестве ( (0.5, 1] ), которое имеет положительную меру. Теперь, вычислим интегралы:

[
\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 1 \, dx = 1,
]

[
\int_0^1 g(x) \, dx = \int0^{0.5} 1 \, dx + \int{0.5}^1 2 \, dx = 0.5 + 1 = 1.5.
]

Таким образом, ( \int_0^1 f(x) \, dx \neq \int_0^1 g(x) \, dx ).

Этот пример показывает, что, если функция не равна почти везде и включает разницу на множестве с положительной мерой, то интеграл будет зависеть от выбора представителя.