Ряд Фурье представляет собой разложение периодической функции в сумму синусоидальных функций (синусов и косинусов) и может быть представлен в виде:

[
f(x) = a0 + \sum{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right),
]

где коэффиценты ( a_n ) и ( b_n ) вычисляются по формулам:

[
an = \frac{1}{\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx,
]
[
bn = \frac{1}{\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx.
]

Сходимость в точке разрыва

Для кусочно-гладкой функции, которая имеет конечное количество разрывов, ряд Фурье сходится к среднему значению функции в точке разрыва. Это можно выразить математически следующим образом:

Если ( f(x) ) имеет разрыв в точке ( x_0 ) и ( f(x) ) принимает значения ( f(x_0^-) ) и ( f(x_0^+) ) с левой и правой стороны соответственно, то ряд Фурье будет сходиться к:

[
f(x_0) = \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}.
]

Эта характеристика свойства сходимости рядов Фурье в точках разрыва подтверждается теоремой Бертрана.

Интерпретация средних значений

Интерпретация средних значений заключается в том, что ряд Фурье, когда он сходится в точке разрыва, дает не значение функции в этой точке, а "усредненное" значение, учитывающее поведение функции с обеих сторон от разрыва. Это явление возникает потому, что сумма гармоник, составляющих ряд Фурье, "выполняет" среднее значение на отрезке, охватывающем разрыв.

Таким образом, функция ведет себя так, что при вычислении ряда Фурье максимальное влияние имеют значения функции, находящиеся "ближе" к точке разрыва, что приводит к этому "усреднению". Упрощенно можно сказать, что ряд Фурье показывает не само значение функции в точке разрыва, а некоторый компромисс между двумя "переходными" значениями функции, что делает результат более стабильным и предсказуемым для анализа сигналов и колебаний.