Для исследования поведения функции ( f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x ) при ( x \to 0^+ ) и ( x \to +\infty ), начнем с каждого предела по отдельности:

Предел при ( x \to +\infty ):

Рассмотрим предел:
[
\lim{x \to +\infty} f(x) = \lim{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x.
]
Известно, что данный предел равен ( e ), поскольку мы можем записать:
[
\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \text{ при } n \to +\infty.
]
Таким образом:
[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = e.
]
Это значение ( e ) имеет глубокий смысл в математике; оно является основанием натурального логарифма и играет ключевую роль в многих областях, включая анализ и теорию вероятностей.

Предел при ( x \to 0^+ ):

Теперь рассмотрим предел:
[
\lim{x \to 0^+} f(x) = \lim{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x.
]
При ( x \to 0^+ ), ( \frac{1}{x} \to +\infty ). Следовательно, мы можем переписать функцию следующим образом:
[
f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \exp\left(x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)\right).
]
Теперь нужно найти предел:
[
\lim{x \to 0^+} x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right).
]
При ( x \to 0^+ ) ( \frac{1}{x} \to +\infty ), так что мы можем использовать разложение логарифма:
[
\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \sim \frac{1}{x} \text{ при } x \to 0^+.
]
Таким образом:
[
x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \sim x \cdot \frac{1}{x} = 1.
]
Следовательно:
[
\lim{x \to 0^+} x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1.
]
Таким образом, предел функции:
[
\lim{x \to 0^+} f(x) = \lim{x \to 0^+} \exp\left(x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)\right) = \exp(1) = e.
]

Итог:

При ( x \to +\infty ), ( f(x) \to e ).При ( x \to 0^+ ), ( f(x) \to e ).

Таким образом, функция ( f(x) ) стремится к числу ( e ) как при ( x \to 0^+ ), так и при ( x \to +\infty ). Этот факт может указывать на некую симметрию или стабильность поведения функции в этих пределах.