Чтобы проверить ортонормированность векторного базиса в (\mathbb{R}^4), необходимо убедиться в двух свойствах:

Ортогональность векторов: Два вектора (\mathbf{u}_i) и (\mathbf{u}_j) ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_j = 0) для всех (i \neq j).

Нормированность векторов: Каждый вектор должен иметь норму, равную единице, т.е. (|\mathbf{u}_i| = 1) для всех (i).

Проверка ортонормированности:Вычислите скалярные произведения всех пар векторов в вашем базисе и убедитесь, что для всех (i \neq j) выполняется условие (\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_j = 0).Для каждого вектора (\mathbf{u}_i) вычислите его норму (|\mathbf{u}_i| = \sqrt{\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_i}) и убедитесь, что она равна 1.Процедура ортонормализации:

Для ортонормализации векторов можно использовать метод Грамма-Шмидта. Вот шаги этой процедуры:

Инициализация: Положим ( \mathbf{u}_1 ) равным первому вектору из базиса. Нормализуем его:
[
\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{|\mathbf{u}_1|}
]

Итерация: Для (k)-ого вектора (\mathbf{u}_k), где (k = 2, \ldots, n):

Отнимите проекции на уже найденные ортонормированные векторы:
[
\mathbf{v}_k = \mathbf{u}k - \sum{j=1}^{k-1} \frac{\mathbf{u}_k \cdot \mathbf{e}_j}{\mathbf{e}_j \cdot \mathbf{e}_j} \mathbf{e}_j
]Нормализуйте (\mathbf{v}_k):
[
\mathbf{e}_k = \frac{\mathbf{v}_k}{|\mathbf{v}_k|}
]

Повторите: Повторяйте шаг 2 для всех векторов в вашем исходном наборе.

После завершения процедуры у вас получится набор ортонормированных векторов ({\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n}), который будет являться ортонормированным базисом в (\mathbb{R}^4).